Эйнштейновская теория тяготения

Эйнштейновская форма уравнений движения — о том, что собственное время должно достигать максимума в искривленном пространстве-времени — дает тот же самый результат, что и закон Ньютона для малых скоростей. Когда Гордон Купер совершал свои обороты вокруг Земли, его часы показывали большее время, чем это могло бы быть при любой другой траектории спутника, которую можно себе вообразить .

Итак, закон тяготения может быть сформулирован в терминах геометрии пространства-времени таким замечательным образом: частицы всегда движутся с наибольшим собственным временем и эта величина в пространстве-времени аналогична «кратчайшему расстоянию». Это закон движения в поле сил тяготения. Большое преимущество такой формулировки состоит в том, этот закон не зависит от координат или от других способов определения ситуации.

Теперь давайте подытожим то, что мы сделали. Мы получили два закона для тяготения:

• 1) как изменяется геометрия пространства-времени, когда присутствует вещество; а именно — кривизна, выражен-
• * В первоначальных «Лекциях по физике».
• **Строго говоря, это только локальный максимум. Нам следовало бы сказать, что собственное время больше, чем время для любой близкой траектории. Например, собственное время на эллиптической орбите вокруг Земли не обязательно должно быть больше, чем на баллистической траектории объекта, который выстреливается на большую высоту и падает назад.

пая в виде избытка радиуса, пропорциональна массе внутри сферы (уравнение (6.3));

2) как движутся объекты, если присутствуют только силы тяготения; а именно — объекты движутся так, что их собственное время между двумя граничными условиями достигает максимума.

Эти два закона соответствуют подобной паре законов, которые мы видели ранее. Мы первоначально описывали движение в поле сил тяготения в терминах ньютоновского закона тяготения с обратным квадратом и его законов движения. Теперь их место заняли законы 1 и 2. Наши новые законы также соответствуют тому, что мы видели в электродинамике. Там мы имели закон — систему уравнений Максвелла, — определяющий поле, создаваемое зарядом. Он говорит, как изменяется характер «пространства» в присутствии заряженной материи, аналогично тому, что утверждает закон 1 относительно тяготения. Кроме того, у нас был закон о движении частиц в заданном поле — d(mv)/dt = q{Е + + v х В). Для тяготения это же делает закон 2.

Законы 1 и 2 дают точное изложение теории тяготения Эйнштейна, хотя обычно вы будете находить их сформулированными в более сложной математической форме. Мы должны, однако, сделать одно добавление. При перемещении тела в поле сил тяготения из одного места в другое меняется не только масштаб времени, но и масштаб длины. Когда мы движемся, длина линеек меняется. Когда пространство и время переплетены так тесно, невозможно, чтобы со временем произошло нечто такое, что тем или иным образом не отразилось бы на пространстве. Возьмем простейший пример: вы пролетаете мимо Земли. То, что вы считаете «временем» (с вашей точки зрения), является частично пространством (с нашей точки зрения). Поэтому должны происходить изменения и в пространстве. Присутствие вещества искривляет единое пространство-время; и это более сложное явление, чем изменение только масштаба времени. Однако правила, которое мы дали в уравнении (6.3), достаточно для полного определения всех законов гравитации, при условии, что это правило о кривизне пространства применяется не только с точки зрения одного человека, но справедливо для всех. Кто-либо, пролетающий вблизи материальной массы, увидит иное содержание этой массы из-за кинетической энергии, которую он вычислит, исходя из движения массы мимо него, а он должен учесть в расчетах ту массу, которая соответствует энергии. Теория должна быть устроена так, чтобы каждый — независимо от того, как он движется, — нарисовав сферу, нахо- дил бы, что избыток радиуса равен величине G/Зс , умноженной на общую массу (или лучше, величине G/Зс⁴, умноженной на общую энергию) внутри сферы. Этот закон — закон 1 — должен быть справедлив в любой движущейся системе, и является одним из великих законов тяготения, который называют эйнштейновским полевым уравнением. Другой великий закон, закон 2, — что тела должны двигаться так, чтобы их собственное время было максимальным, — называется эйнштейновским уравнением движения.

Записать эти законы в полной алгебраической форме, сравнить их с законами Ньютона или соотнести их с электродинамикой — это довольно трудная математическая задача. Но именно так выглядят сегодня наши наиболее полные законы тяготения.

Хотя для рассмотренного нами простого примера они и дали результат, согласующийся с механикой Ньютона, так происходит не всегда. Экспериментально были подтверждены три расхождения, впервые полученные Эйнштейном. Орбита Меркурия не является фиксированным эллипсом; свет звезд, проходящий вблизи Солнца, отклоняется от прямой в два раза сильнее, чем следовало ожидать; и скорость хода часов зависит от их положения в поле тяготения. Во всех случаях, когда предсказания Эйнштейна отличались от идей механики Ньютона, Природа вставала на сторону Эйнштейна.

Подытожим все, что мы сказали, следующим образом. Во-первых, измерения времени и расстояния зависят от места в пространстве, где происходит измерение, и от времени. Это эквивалентно утверждению, что пространство-время искривлено. Исходя из измеренной площади поверхности сферы, мы можем определить предсказанный радиус, /4л, но действительный измеренный радиус будет иметь избыток, пропорциональный (с постоянной G/c ) общей массе, заключенной внутри сферы. Эта величина определяет степень искривленности пространства-времени. И эта кривизна должна быть одной и той же независимо то того, кто смотрит на вещество, и как он движется. Во-вторых, частицы в этом искривленном пространстве-времени движутся по «прямым линиям» (траекториям максимального собственного времени). Таково содержание эйнштейновской формулировки законов тяготения.