Наше пространство искривлено

Теперь подошла очередь главного вопроса. Является ли искривленным реальное физическое пространство, в котором мы живем? Если нам хватает воображения, чтобы осознать возможность искривления пространства, то интересно узнать, является реальный мир искривленным или нет. Для выяснения этого люди начинают проводить прямые геометрические измерения и не находят никаких отклонений. С другой стороны, исследуя тяготение, Эйнштейн обнаружил, что пространство является искривленным, и мы хотели бы рассказать вам, что эйнштейновский закон х’оворит о величине кривизны и как Эйнштейн получил этот результат.

Эйнштейн заявлял, что пространство искривлено и что источником кривизны является вещество. (Вещество является также источником тяготения, так что тяготение связано с кри-

* Для полноты следует сделать одно дополнительное замечание. Если вы захотите перенести модель искривления пространства по типу горячей тарелки на три измерения, то должны учесть, что длина линейки теперь зависит не только от того, куда вы ее прикладываете, но и от того, какова при этом ее ориентация. Это обобщение простого случая, при котором длина линейки зависит от места ее приложения, но остается той же самой при направлении линейки на северо-восток, на юго-запад или сверху вниз. Это обобщение необходимо, если вы хотите применить такую модель к трехмерному пространству с произвольной геометрией, и не требуется в случае двух измерений.

визной — но об этом в данной главе речь пойдет позже.) Давайте предположим для простоты, что вещество распределено непрерывно с некоторой плотностью, которая, однако, может меняться от одной точки к другой по произвольному закону . Определение, которое дал Эйнштейн кривизне, таково: если имеется область пространства, содержащая вещество, и мы возьмем сферу, достаточно малую для того, чтобы плотность вещества р внутри нее была практически постоянной, тогда избыток радиуса для этой сферы пропорционален массе, заключенной внутри нее. Используя определение для избытка радиуса, получим

Здесь G обозначает постоянную сил тяготения (из теории Нью-

о

тона), с — это скорость света, а М = 4лрг /3 — масса вещества внутри сферы. Таков закон Эйнштейна для средней кривизны пространства.

Возьмем для примера Землю и забудем, что ее плотность меняется от точки к точке — чтобы нам не пришлось брать интегралы. Предположим, что мы точно измерили поверхность Земли, а затем прорыли шахту до центра и измерили радиус. Зная площадь поверхности, мы можем рассчитать предсказанный ра-

2

диус, приравняв площадь к 4яг . Сравнив предсказанный радиус с действительным, мы найдем, что действительный радиус превосходит предсказанный на величину, задаваемую уравнением

• 2 —29
• (6.3). Постоянная G/Зс равна примерно 2,5 х 10 см на грамм,

так что для каждого грамма материи измеренный радиус превос-

—29

ходит предсказанный на 2,5 х 10 см. Учитывая массу Земли,

27

равную примерно 6 х 10 г, получим, что радиус Земли на 1,5 миллиметра больше значения, получаемого расчетом из площади ее поверхности . Проделав такие же вычисления для Солнца, вы найдете, что радиус Солнца длиннее на полтора километра.

Следует заметить, что согласно этому закону средняя кривизна над поверхностью Земли равна нулю. Но это не означает, что

• * Никто, в том числе и сам Эйнштейн, не знает, как это сделать, если масса сосредоточена в точках.
• **Приблизительно, поскольку плотность не является независимой от величины радиуса, как мы предположили.

все компоненты кривизны равны нулю. Может существовать — и фактически существует — некоторая кривизна над Землей. Для окружности на плоскости избыток радиуса будет иметь один знак при одной ориентации и противоположный знак при другой ориентации. Оказывается, что среднее значение кривизны над сферой равно нулю, когда внутри нее нет массы. Между прочим, существует связь между различными компонентами кривизны и изменением среднего значения кривизны от точки к точке. Поэтому, если известна средняя кривизна во всех точках, вы можете определить кривизну в каждой точке. Средняя кривизна над Землей меняется с высотой, так что пространство искривлено. И именно эту кривизну мы воспринимаем как силу тяготения.

Предположим, что имеется жук на плоскости, которая покрыта бугорками. Передвигаясь по этой плоскости, жук придет к выводу, что там, где расположен бугорок, имеет место локальное искривление его пространства. То же самое наблюдается в трех измерениях. Всюду, где находится сгусток вещества, наше трехмерное пространство имеет локальное искривление — что-то вроде трехмерного бугорка.

Если мы создадим на поверхности ряд выпуклостей, то может появиться общая кривизна помимо всех бугорков — поверхность может стать похожей на шар. Было бы интересно узнать, имеет ли наше пространство чистую среднюю кривизну, также как и локальные бугорки, вызванные сгустками вещества вроде Земли и Солнца. Астрофизики пытались ответить на этот вопрос, проводя измерения галактик, удаленных на большие расстояния. Например, если число галактик, которые мы видим внутри сферы большого размера, отличается от того, что мы ожидаем увидеть, зная радиус этой сферы, мы можем измерить избыток радиуса для этой большой сферы. С помощью таких измерений предполагают выяснить, является ли вся наша Вселенная в среднем плоской или круглой — «замкнута» ли она как сфера или «открыта» как плоскость. Возможно, вы слышали о спорах, которые идут по этому поводу. Они происходят потому, что астрономические измерения пока не достоверны; экспериментальные данные также недостаточно точны, чтобы дать определенный ответ. К сожалению, у нас нет ни малейшего представления об общей кривизне нашей Вселенной в большом масштабе.