Алгебра 4-векторов

Обозначения для 4-векторов отличаются от обозначений для

3- векторов. Например, 3-вектор импульса обозначают р. Если мы хотим уточнить, то говорим о трех компонентах, р_х, р_у и р_г, либо просто обозначаем любую компоненту как p_t, полагая, что вместо i может стоять х, у или г. Обозначения, которые мы используем для 4-векторов, аналогичны этому: мы записываем такой вектор в виде р_у, а р означает четыре возможных направления — t, х, у или г.

Конечно, мы можем использовать любые обозначения, какие пожелаем. Не смейтесь над обозначениями, изобретайте их — это мощное средство. На самом деле математика — это в значительной степени изобретение обозначений. Вся идея 4-векто- ра — это, по сути, усовершенствование обозначений для лучшего запоминания преобразований. Итак, А_м — это общий

4- вектор, р_у — 4-импульс, p_t — энергия, р_х — импульс в направлении х, р_у — в направлении у и р₂ — в направлении z. Чтобы сложить 4-векторы, мы складываем соответствующие компоненты.

Если имеется уравнение, связывающее 4-векторы, тогда это уравнение справедливо для каждой компоненты. Например, если при столкновении частиц должен выполняться закон сохранения 3-вектора импульса, то есть, если сумма импульсов для большого числа взаимодействующих или сталкивающихся частиц постоянна, то это означает, что сумма всех компонент импульсов в направлении х, в направлении у ив направлении z постоянна. Однако в таком виде этот закон в теории относительности был бы невозможен, потому что он неполон; это все равно, что говорить только о двух компонентах 3-вектора. Он неполон, потому что при повороте осей различные компоненты смешиваются, и мы должны включить в наш закон сохранения все три компоненты. Следовательно, в теории относительности мы должны дополнить закон сохранения импульса, добавив в него сохранение временной компоненты. Абсолютно необходимо, чтобы сохранение первых трех компонент сопровождалось сохранением четвертой, иначе у нас не будет релятивистской инвариантности. Чтобы получить обоснованное 4-векторное соотношение в геометрии пространства-времени, вместе с сохранением импульса должно присутствовать четвертое уравнение — сохранение энергии. Таким образом, закон сохранения энергии и импульса в четырехмерных обозначениях имеет вид

или, в слегка измененных обозначениях,

где i =1, 2, ... относится к сталкивающимся частицам, j =1, 2, ... относится к частицам, возникающим при столкновении, и р = х, у, z или t. Вы спрашиваете: «В какой системе координат?» Это безразлично. Закон справедлив для любых компонент, в любой системе координат.

В векторном анализе мы обсуждали еще одно понятие — скалярное произведение двух векторов. Давайте рассмотрим, что

соответствует ему в пространстве-времени. При обычном враще-

2 2 2

нии неизменной остается величина х + у + z . В четырехмерном мире мы находим, что соответствующая величина равна (уравнение 5.3). Как это записать? Кто-то может захотеть изобразить нечто четырехмерное вроде Л_ц и В_п; но обычно пишут:

Штрих у знака суммы означает, что первый «временной» член положителен, а остальные три имеют знак минус. Тогда эта величина одна и та же в любой системе координат, и мы можем назвать ее квадратом длины 4-вектора. Например, чему равен квадрат длины 4-вектора импульса отдельной частицы? Он будет равен или, иначе, Е - р , потому что мы знаем,

что p_t = Е. Что такое Е - р ? Это должно быть что-то, что одинаково в любой системе координат. В частности, в системе координат, движущейся вместе с частицей, в которой частица покоится. Если частица неподвижна, то у нее нет импульса. Поэтому у нее остается только энергия, совпадающая с массой. Следовательно, . Таким образом, мы видим, что квадрат

длины 4-вектора импульса равен то .

Пользуясь выражением для квадрата вектора, мы можем изобрести скалярное произведение двух 4-векторов: если а и 6_М — два 4-вектора, то их скалярное произведение равно

Оно сохраняет свое значение при преобразовании системы координат.

Наконец, упомянем о частицах, у которых масса покоя т₀ равна нулю. Например, фотон — частица света. Фотон похож на частицу тем, что он несет энергию и импульс. Энергия фотона равна некоторой постоянной (постоянной Планка), умноженной на частоту фотона: Е = hv. Такой фотон несет также импульс, который (как у всякой частицы) равен постоянной Планка, деленной на длину волны: р = ti/X. Но для фотона существует определенное соотношение между частотой и длиной волны: v = с/Х. (Число волн в секунду, умноженное на длину волны, является расстоянием, которое свет проходит за одну секунду, что, естественно, равно с.) Таким образом, мы сразу видим, что энергия фотона равна импульсу, умноженному на с, или, если с = 1, энергия и импульс равны. Это равносильно тому, что масса покоя равна нулю. Взглянем на это еще раз, это весьма любопытно. Если фотон — частица с нулевой массой покоя, что произойдет, когда он остановится? Он никогда не остановится! Он всегда движется со скоростью с. Обычная формула для энергии — это . Можем ли мы утверждать, что при т₀ =

О и и = 1 энергия фотона равна нулю? Мы не можем сказать, что она равна нулю; фотон может обладать (и обладает) энергией, хотя и не имеет массы покоя, но это происходит благодаря его постоянному движению со скоростью света!

Мы знаем также, что импульс любой частицы равен произведению полной энергии на скорость: если с = 1, то р = оЕ, или, в обычных единицах, р= оЕ/с . Для любой частицы, движущейся со скоростью света, р = Е, если с= 1. Формулы для энергии фотона с точки зрения движущейся системы задаются, конечно, уравнениями (5.12), но вместо импульса мы должны подставить энергию, умноженную на с (или на 1 в данном случае). Изменение энергии после преобразования означает изменение частоты. Это называется эффектом Доплера, и его можно легко рассчитать из уравнения (5.12), положив Е = р и Е = tiv.

Как сказал Минковский, «пространство само по себе и время само по себе погрузятся в реку забвения, и только своеобразный союз между ними останется жить».