Релятивистская масса

В предыдущей главе мы узнали, что масса тела возрастает с ростом скорости, но не было дано никаких доказательств это- х’О в том смысле, что мы не привели никаких аргументов, подобных тем, что использовались в примере с часами. Однако мы можем показать, что (вследствие принципа относительности и некоторых других разумных предположений) масса должна изменяться именно таким образом. (Мы вынуждены говорить о «некоторых других предположениях», потому что нельзя ничего доказать, пока у нас не будет каких-то законов, которые полагаются справедливыми, если мы рассчитываем делать разумные умозаключения.) Чтобы не изучать законы преобразования силы, мы будем анализировать столкновение частиц, при котором нам ничего не надо знать о законах силы, кроме того, что мы будем предполагать сохранение импульса и энергии. Кроме того, будем предполагать, что импульс движущейся частицы — это вектор, направление которого всегда совпадает с направлением скорости. Однако мы не будем считать импульс пропорциональным скорости, как считал Ньютон, но будем считать, что он является лишь некоторой функцией скорости. Тогда мы можем записать импульс как вектор скорости, умноженный на некоторый коэффициент:

Индекс v у коэффициента будет напоминать нам, что он является функцией скорости, и мы условимся называть этот коэффициент m_v «массой». Конечно, когда скорость мала, он является той самой массой, которую мы привыкли измерять. Теперь мы постараемся показать, что выражение для m_v должно иметь вид

, утверждая согласно принципу относительности, что законы физики должны быть теми же самыми в любой системе координат.

Предположим, что у нас есть две частицы (например, два протона), которые абсолютно одинаковы, и они движутся навстречу друг другу со строго одинаковыми скоростями. Их общий импульс равен нулю. Что же может произойти? После столкновения их направления движения должны остаться строго противоположными, потому что иначе мы получим ненулевой суммарный вектор импульса. Они также должны иметь одинаковую скорость, поскольку это в точности одинаковые частицы; фактически они должны иметь ту же скорость, с какой они стартовали, иначе изменится энергия при столкновении. Поэтому диаграмма упругого обратимого столкновения будет выглядеть так, как показано на рис. 4.2, а: все стрелки имеют одинаковую длину, все скорости равны. Будем предполагать, что такие столкновения всегда можно подготовить, что в них допустимы любые углы 0 и любые значения начальной скорости частиц. Далее заметим, что одному и тому же столкновению можно придать другой вид, повернув оси. Для удобства мы повернем оси так, чтобы горизонтальная ось делила рисунок пополам, как показано на рис. 4.2, б. Это то лее столкновение, только с повернутыми осями.

И вот в чем заключается фокус: давайте взглянем на это столкновение с точки зрения наблюдателя, движущегося в автомобиле со скоростью, равной горизонтальной составляющей скорости частицы. Как тогда будет выглядеть столкновение? Наблюдателю покажется, что частица 1 движется вертикально вверх, поскольку потеряла горизонтальную составляющую своей скорости, а затем будет двигаться вертикально вниз. То есть

Рис. 4.2. Упругое столкновение разных тел, движущихся с равными скоростями в противоположных направлениях, при различном выборе системы координат

Рис. 4.3. Еще две картины того же столкновения (из движущегося автомобиля)

столкновение выглядит так, как показано на рис. 4.3, а. Частица 2, однако, движется иначе, когда мы проезжаем мимо нее, кажется, что она пролетает с огромной скоростью и под меньшим углом (углы до и после столкновения равны). Обозначим через и горизонтальную составляющую скорости частицы 2, а через w вертикальную скорость частицы 1.

Возникает вопрос: чему равна вертикальная скорость utga частицы 2. Если бы мы знали это, то могли бы получить правильное выражение для импульса, используя закон сохранения импульса в вертикальном направлении. Ясно, что горизонтальная составляющая количества движения остается постоянной; она одинакова для обеих частиц, а для частицы 1 вообще равна нулю. Так что нам нужно использовать закон сохранения только для вертикальной скорости utga. Но мы можем получить вертикальную скорость, просто взглянув на это столкновение с другой точки зрения! Если мы взглянем на столкновение, изображенное на рис. 4.3, а, из автомобиля, движущегося влево со скоростью и, мы увидим то же столкновение, только перевернутое «вверх ногами», как показано на рис. 4.3, б. Теперь частица 2 движется вверх и вниз со скоростью w, а частица 1 имеет горизонтальную скорость и. Конечно, теперь выдогадались, чему равна вертикальная скорость utga: это [см. (4.7)].

Мы знаем, что изменение импульса вертикально движущейся частицы равно

(2 потому, что частица движется вверх и вниз). Частица, движущаяся наклонно, имеет некоторую скорость о, составляющие которой равны и и , и масса ее m_v. Следовательно, изменение

вертикального импульса этой частицы , поскольку в соответствии с предполагаемым законом (4.8) составляющая импульса всегда равна массе, соответствующей величине скорости, умноженной на составляющую скорости в интересующем нас направлении. Поэтому, чтобы суммарный импульс равнялся нулю, вертикальные импульсы должны взаимно уничтожаться, и отношение массы, движущейся со скоростью w, к массе, движущейся со скоростью и, должно быть равным

Рассмотрим предельный случай, когда w бесконечно мало. При малых w величины и и и практически равны. В этом случае m_w —» т₀ и т_и —» т_и. Окончательный результат таков:

Интересным упражнением теперь будет проверить, действительно ли уравнение (4.9) справедливо для произвольных значений w, если для массы справедлива формула (4.10). Заметим, что скорость, которая входит в (4.9), может быть определена из прямоугольного треугольника:

Это соотношение выполняется автоматически, хотя мы будем использовать его при малых w.

Теперь примем, что импульс сохраняется и масса зависит от скорости согласно (4.10), и посмотрим, какие еще выводы мы можем сделать. Давайте рассмотрим так называемое неупругое столкновение. Для простоты предположим, что два одинаковых тела движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями w, сталкиваются и образуют новое тело, которое больше не распадается, как показано на рис. 4.4, а. Масса каждого тела до

Рис. 4.4. Две картины неупругого столкновения тел равной массы

столкновения равна, как мы знаем, Если мы

предполагаем сохранение импульса и принимаем принцип относительности, то можем продемонстрировать интересное свойство массы вновь образовавшегося тела. Представим себе бесконечно малую скорость и, перпендикулярную скорости w (мы можем проделать то же самое с конечной скоростью и, но вопрос легче понять при бесконечно малой скорости), взглянем на это столкновение из лифта, движущегося со скоростью -и. То, что мы увидим, показано на рис. 4.4, б. Составное тело имеет неизвестную массу М. Теперь у тела 1, как и у тела 2, есть вертикальная составляющая скорости и и горизонтальная составляющая, которая практически равна w. После столкновения у нас появляется масса М, движущаяся вверх со скоростью и, много меньшей и скорости света и скорости w. Импульс должен сохраниться, поэтому давайте оценим его до и после столкновения. До столкновения он был р ~ 2m_wu, а после столкновения стал р' = М_ии, но М_и практически совпадает с М₀, потому что и мало. Эти величины должны быть равны вследствие сохранения импульса, и поэтому

Итак, масса тела, образованного при столкновении двух одинаковых тел, равна их удвоенной массе. Вы можете сказать: «Да, конечно, это просто сохранение масс». Не следует торопиться с «да, конечно», потому что эти массы больше, чем массы покоящихся тел, и в массу М входят не массы покоя, а большие величины. Как это ни удивительно, но закон сохранения импульса в случае столкновения двух тел требует, чтобы образуемая ими масса была больше масс покоя тел, даже при том, что после столкновения объекты придут в состояние покоя!