Релятивистская динамика
Теперь мы готовы к более широкому исследованию того, какую форму принимают законы механики при преобразовании Лоренца. (Пока что мы объяснили, как изменяются длина и время, но не то, как мы получаем измененную формулу для т (3.1). Мы сделаем это в следующей главе.) Изучение следствий формулы Эйнштейна для массы т в механике Ньютона начнем с закона Ньютона о том, что сила представляет собой скорость изменения импульса, или
Импульс двилсения по-прежнему равен ти, но при использовании нового значения т оно превращается в
Это законы Ньютона в записи Эйнштейна. При таком видоизменении, если действие и противодействие равны (что может быть не так на отдельных участках, но справедливо в общем), то, как и раньше, импульс должен сохраняться, но сохраняющаяся величина — это не старое ту при постоянном т, а выражение с переменной массой, показанное в (3.10). Когда в формулу для импульса внесено это изменение, закон сохранения импульса по-прежнему работает.
Теперь рассмотрим, как импульс зависит от скорости. В механике Ньютона он пропорционален скорости. В значительном диапазоне скоростей (небольших по сравнению с с) они также примерно пропорциональны и в релятивистской механике, поскольку выражение с квадратным корнем мало отличается от единицы. Но когда и почти равно с, этот корень приближается к нулю, а импульс стремится к бесконечности.
Что происходит, если постоянная сила действует на некоторое тело в течение долгого времени? В механике Ньютона скорость тела продолжает увеличиваться, пока не превысит скорости света. Но в релятивистской механике такое невозможно. В релятивистской механике растет не скорость тела, а его импульс, который может непрерывно расти, потому что растет масса. Через некоторое время ускорение, т. е. изменение скорости, практически исчезает, но импульс продолжает расти. Если сила производит очень малое изменение в скорости тела, мы говорим, что тело обладает большой инерцией, и именно это говорит наша формула для релятивистской массы (см. ЗЛО) — она говорит, что инерция очень велика, когда и почти равно с. Разберем пример. Чтобы отклонить быстрые электроны в синхротроне КАЛТЕХ'а, необходимо магнитное поле, которое в 2000 раз мощнее того, что следует из законов Ньютона. Другими словами, масса электронов в этом синхротроне в 2000 раз больше их нормальной массы и достигает массы протона! Если
т в 2000 раз больше /п0, то 1 - и2/с2 равно 1/4000000, а это зна-
2 2
чит, что v /с отличается от единицы на одну четырехмиллионную, а v отличается от с на одну восьмимиллионную, так что скорость электронов весьма близко подходит к скорости света. Если электроны и свет стартовали бы одновременно от синхротрона в сторону соседней лаборатории (которая находится на расстоянии примерно 200 м), кто пришел бы к финишу раньше? Конечно свет, потому что свет всегда движется быстрее". Насколько раньше? На этот вопрос трудно ответить — вместо этого мы скажем, на какое расстояние свет опередит электроны: около 1/40 мм, или четверть толщины листа бумаги! Когда электроны движутся с такой скоростью, их масса огромна, но их скорость не может превзойти скорость света.
Давайте теперь взглянем на некоторые другие следствия релятивистского роста массы. Рассмотрим движение молекул в небольшом резервуаре с газом. Когда газ нагревается, скорость молекул возрастает, поэтому масса также возрастает, и газ становится тяжелее. Приближенная формула для роста массы при малых скоростях может быть получена разложением в ряд
выражения
. Получается
[1]
Из этой формулы ясно, что при малых и ряд быстро сходится, и можно пренебречь всеми членами, кроме первых двух. Поэтому можно написать
где второй член в правой части выражает рост массы, вызванный скоростью молекул. Когда температура растет, о2 растет пропорционально ей, так что мы можем сказать, что увеличение массы пропорционально повышению температуры. Но по-
1 , 2
скольку /2 т0и — это кинетическая энергия в старомодном ньютоновском смысле, можно сказать, что прирост массы газа равен приросту кинетической энергии, деленному на с2, Ат = Л(К.Э.)/с2.
- [1] На самом деле электроны выиграли бы соревнование у видимого света из-закоэффициента преломления в воздухе. А гамма-лучи добились бы еще болеевысоких результатов.
