4-векторы

Посмотрим, что еще мы сможем обнаружить в преобразовании Лоренца. Интересно заметить, что преобразования переменных х и t по форме аналогичны преобразованиям переменных х и у, которые мы изучали в главе 1, когда говорили о вращении системы координат. Тогда мы имели

где новое значение х' (также как новое значение у') получается смешиванием старых значений х и у. В преобразовании Лоренца мы находим, что новое значение х' получается смешиванием х и t, а новое значение t' — смешиванием t их. Значит, преобразование Лоренца похоже на вращение, только это — «вращение» в пространстве и времени. Это весьма странное понятие. Проверку этой аналогии с вращением можно провести, вычислив величину

Первые три члена в левой и правой части этого уравнения представляют собой в трехмерной геометрии квадрат расстояния между точкой и началом координат (сферу). Он не меняется (остается инвариантным) при произвольном вращении осей координат. Подобно этому, уравнение (3.9) показывает, что существует определенная комбинация координат и времени, являющаяся инвариантной при преобразовании Лоренца. Таким образом, получается полная аналогия с вращением, благодаря чему векторы, т. е. величины, составленные из «компонентов», которые преобразуются таким же способом, как координаты и время, оказываются полезными и в теории относительности.

Таким образом, мы расширяем понятие вектора. До сих пор он имел только пространственные компоненты. Теперь добавим временной компонент. То есть, мы ожидаем, что будут существовать векторы с четырьмя компонентами, три из которых аналогичны компонентам обычного вектора, и с ними будет связан четвертый компонент — аналог времени.

Это понятие будет проанализировано в следующих главах, где мы обнаружим, что, если применить идеи из этого раздела к импульсу, это даст три пространственные составляющие, подобные обычным компонентам импульса, и четвертую составляющую, временную (которая представляет энергию).