Полярный и аксиальный векторы
Двинемся дальше. Мы замечаем, что в физике существует много примеров, где мы имеем «левосторонние» и «правосторонние» правила. Когда мы изучали векторный анализ, то узнали правило правой руки, которое должны применять, чтобы верно определить направление момента количества движения, вращающего момента, магнитного поля и так далее. Например, сила, действующая на заряд в магнитном поле, равна F = qv х В. В данной ситуации, когда мы знаем F, v и В, не достаточно ли этого уравнения для определения правосторонности? На самом деле, если мы вернемся назад и посмотрим, откуда появились эти векторы, то поймем, что «правило правой руки» было простым соглашением; это была хитрость. Первоначальные величины, вроде моментов количества движения и угловых скоростей, вовсе не являлись настоящими векторами! Все они как-то связаны с некоторой плоскостью, и только потому, что наше пространство имеет три измерения, мы смогли связать эти величины с направлением, перпендикулярным к этой плоскости. Из двух возможных направлений мы выбрали «правостороннее».
Представьте, что если бы некий демон проник во все физические лаборатории и поменял слово «право» на «лево» во всех книгах, где указаны «правила правой руки», и вместо них мы все использовали «правила левой руки», то физики бы просто не заметили этого, ибо не было бы никакой разницы с точки зрения физических законов, если законы физики симметричны.
Давайте дадим иллюстрацию. Существуют два вида векторов. Есть обыкновенные, «настоящие» векторы, например шаг Лг в пространстве. Если в нашем аппарате имеется некая часть «здесь» и что-то еще «там», то в зеркально отраженном аппарате будет присутствовать отражение части и отражение того же самого «чего-то», а если мы проведем вектор от «сюда» до «туда», то один вектор будет зеркальным отражением другого (рис. 2.2). Вектор изменил свое направление, так же как все пространство повернулось в другую сторону. Такой вектор мы называем полярным вектором.
Рис. 2.2. Шаг в пространстве и его зеркальное отражение
Но другой тип вектора, связанный с вращением, имеет иную природу. Например, пусть в трехмерном пространстве что-нибудь вращается, как показано на рис. 2.3. Если мы посмотрим на это в зеркале, оно будет вращаться, как указано, а именно, как зеркальное отражение первоначального вращения. Условимся представлять отраженное вращение по тому же правилу. В результате мы получим «вектор», который не меняется как полярный вектор, но перевернут относительно полярных векторов и геометрии пространства; такой вектор называется аксиальным вектором,.
Если закон о симметрии отражения справедлив в физике, тогда уравнения должны быть устроены таким образом, что, если мы в соответствии с отражением поменяем знак каждого аксиального вектора и каждого векторного произведения, ничего не произойдет. Например, если мы напишем выражение для углового момента L = г х р, это выражение останется верным, потому что при переходе к левой системе координат мы изменили знак L, хотя и р и г не изменились. Кроме того изменился знак векторного произведения, поскольку мы должны перейти от правила правой руки к правилу левой руки. Другой пример. Мы знаем, что сила, действующая на заряд в магнитном поле, равна F = q х В, но если мы перейдем от правой системы координат к левой, то, поскольку F и v — полярные векторы, изменение знака векторного произведения должно компенсироваться изменением знака В, откуда следует, что В должен быть аксиальным вектором. Другими словами, при таком отражении В должно перейти в - В. Если мы меняем систему координат
Рис. 2.3. Вращающееся колесо и его зеркальное отражение. Заметьте, что «вектор» угловой скорости не изменил направления с правой на левую, то должны также поменять полюса магнита с северного на южный.
Давайте посмотрим на примере, как это получается. Предположим, у нас есть два магнита, как на рис. 2.4. На одном из магнитов намотана проволочная спираль, и ток по ней идет в определенном направлении. Второй магнит похож на отражение первого в зеркале — проволока намотана в другую сторону, и все, что происходит внутри катушки — повернуто наоборот, и ток течет так, как показано на рисунке. Из законов магнетизма (которые мы пока официально не знаем, но которые почти наверняка проходили в школе) следует, что магнитное поле направлено так, как показано на рис. 2.4. В одном случае полюс является южным магнитным полюсом, а в другом — северным, так как у него ток направлен в другую сторону, а магнитное поле перевернуто. Отсюда видно, что, когда мы переходим с правой системы на левую, мы на самом деле должны поменять север на юг!
Не смущайтесь переменой севера на юг — это просто условности. Давайте поговорим о самом явлении. Предположим теперь, что электрон движется от нас в магнитном поле и направляется в сторону данной страницы. Тогда, если мы применим формулу для силы v х В (помните, что заряд отрицательный), то получим, что он отклонится в указанном направлении в соответствии с этим физическим законом. Так что явление заключается в том, что если в катушке течет ток в определенном направлении, то электрон отклонится определенным образом — это физика, и неважно как мы все называли.
Теперь проделаем такой же эксперимент с участием зеркала: мы посылаем электрон в соответствующем направлении, и если теперь вычислить силу по тому же правилу, то сила поменяет направление, и это верный результат, потому что соответствующее движение является зеркальным отражением!
Рис. 2.4. Электромагнит и его зеркальное отражение
