Законы Ньютона в векторной записи

Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы должны сделать еще один шаг и определить вектор ускорения. Этот вектор равен производной по времени от вектора скорости, и легко показать, что ехю компоненты — это вторые производные х, у и z по времени:

После этого можно записать законы Ньютона в виде: или

Теперь задача доказательства инвариантности законов Ньютона относительно вращения такова: доказать, что а (ускорение) является вектором — это мы только что проделали. Затем доказать, что F является вектором — мы предполагаем, что это так. Если сила является вектором, то уравнение (1.13) будет выглядеть одинаково в любой другой системе координат. Запись его в форме, не содержащей в явном виде х, у иг, имеет то преимущество, что не нужно писать три уравнения каждый раз, когда мы пишем законы Ньютона или другие законы физики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, но в действительности, конечно, это три закона для любой конкретной системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит утверждение, что соответствующие составляющие равны.

Тот факт, что ускорение — это скорость изменения вектора скорости, помогает нам вычислить ускорение в некоторых довольно сложных ситуациях. Предположим, например, что некая частица движется по некоторой сложной кривой (рис. 1.7) и что в момент t₁ она имеет скорость v_x, а в другой момент t₂ — другую скорость v₂. Чему равно ускорение? Ответ: ускорение равно разности скоростей, деленной на маленький промежуток времени, значит нам надо найти эту разность скоростей. Как же найти разность скоростей? Чтобы найти разность векторов, мы проводим вектор между концами v₂ и Vj; то есть мы чертим Av как разность между двумя векторами. Верно? Нет Это справедливо только тогда, когда начала векторов находятся в одной точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно, так что будьте бдительны! Мы должны начертить новую схему для вычитания векторов. На рис. 1.8 векторы v_x и v₂ изображены равными и параллельными своим двойникам из рис. 1.7, и теперь мы сможем поговорить об ускорении. Конеч-

Рис. 1.7. Криволинейная траектория

Рис. 1.8. Диаграмма для вычисления ускорения

но, ускорение — это просто Av/At. Интересно отметить, что разность скоростей можно разделить на две части; мы можем полагать, что ускорение состоит из двух составляющих, Дуц — вектора, параллельного касательной к траектории, и Av_x, перпендикулярного к этой касательной, как показано на рис. 1.8. Ускорение по касательной к траектории, конечно же, это изменение длины вектора, т. е. изменение скорости и:

Другую составляющую ускорения, перпендикулярную к касательной, легко вычислить, используя рис. 1.7 и 1.8. За короткий промежуток времени At изменение угла между Vj и v₂ составит малый угол Д0. Если величина скорости обозначена через о, то

и ускорение а составит

Теперь надо узнать Д0/Д/, что можно сделать следующим образом. Если в данный момент времени приблизительно заменить кривую окружностью некоторого радиуса R, тогда за время At расстояние s = vAt, где и — скорость. Изменение угла равно

Следовательно, мы найдем, что как мы видели раньше.