Векторная алгебра

Теперь мы должны описать законы, или правила, регулирующие возможные сочетания векторов. Прежде всего это сложение векторов. Пусть а — это вектор в некоторой системе координат с компонентами (а_х, а_у, а₂), а b — другой вектор с компонентами (Ь_х, Ь_у, Ь_г). Теперь составим три новых числа (а_х + Ь_х, а_у + Ь_у, а, + b_z). Образуют ли они вектор? Мы могли бы сказать: «Разумеется, ведь здесь имеются три числа, а три числа образуют вектор». Нет, не любые три числа образуют вектор! Чтобы получить вектор, нужно связать три числа с некоторой системой координат таким образом, чтобы при повороте системы координат эти три числа «поворачивались» одно относительно другого, «смешивались» согласно правилам, которые мы уже описали. Поэтому вопрос заключается в следующем: если мы поворачиваем систему координат, и при этом (а_х, а_у, а_г) переходит в (а*., а_у', а₂-), a (b_x, b_y, b_z) переходит в (Ь_х., Ь_у', Ь₂), во что перейдет (а_х + Ь_х, а_у + Ь_у, а₂ + Ь_г)? Перейдет ли оно в (а_х. + Ь_х., а_у. + Ь_у', а₂' + Ь₂) или нет? Ответ, конечно, да, потому что исходное преобразование, описанное уравнениями (1.5), представляет собой то, что мы называем линейным преобразованием. Если мы применим это преобразование к а_х и Ь_х, чтобы получить а_х. + Ь_Х', мы обнаружим, что преобразованное а_х + Ь_х действительно то же самое, что и а_х• + Ь_х.. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор с. Можно записать это как

Вектор с обладает интересным свойством: которое можно получить из его компонентов. Верно также, что

Мы можем складывать векторы в любом порядке.

Каков геометрический смысл суммы а + Ь? Предположим, что а и b изображены в виде прямых линий на листе бумаги. Как при этом будет выглядеть с? Ответ показан на рис. 1.4. Мы видим, что сложить компоненты а с компонентами b проще всего, если расположить прямоугольники, представляющие эти компоненты, так, как показано на рисунке. Поскольку b точно «вписывается» в свой прямоугольник, также как а — в свой, это будет то же самое, что совместить «хвост» b с «головой» а, тогда стрелка из «хвоста» а к «голове» b будет вектором с. Можно поступить иначе: совместить «хвост» а с «головой» Ь. Согласно геометрическим свойствам параллелограмма мы получим тот же результат для с. Заметим, что векторы можно складывать подобным образом без помощи координатных осей.

Предположим, что мы умножили некоторый вектор а на некоторое число а, что это означает? Договоримся понимать под этим новый вектор с компонентами аа_х, аа_у, аа_г. Доказательство того, что это действительно вектор, мы оставляем студентам в качестве задачи.

Теперь рассмотрим вычитание векторов. Мы можем определить вычитание таким же образом, как и сложение, только компоненты не складываются, а вычитаются. Или же мы можем определить вычитание, введя понятие отрицательного вектора -Ь = (—1 )Ь, а потом уже сложить компоненты. Оба способа

Рис. 1.4. Сложение векторов

Рис. 1.5. Вычитание векторов

дадут один и тот же результат, показанный на рис. 1.5. Из рисунка видно, что d = a- b = a + (-b); заметим также, что, зная а и Ь, разность а - b легко легко найти из эквивалентного соотношения а = b + d. Так разность даже легче найти, чем сумму: чтобы получить а - Ь, мы просто проводим вектор от b к а!

Теперь обсудим скорость. Почему скорость является вектором? Если положение задается тремя координатами (х, у, г), то скорость задается производными dx/dt, dy/dt и dz/dt. Это вектор или нет? Дифференцируя выражения в (1.5), мы можем определить закон преобразования dx'/dt. Мы видим, что компоненты dx/dt и dy/dt действительно преобразуются по тому же закону, что и х и у. Следовательно, производная вектора является вектором. Значит, скорость есть вектор. Мы можем записать скорость в таком интересном виде:

Что такое скорость, и почему она является вектором, можно понять на более ярком примере. Далеко ли передвинется некая частица за короткий промежуток времени At? Ответ: на Дг, поскольку, если частица находится «здесь» в один момент времени и «там» — в другой, то разность положений равна вектору Дг = г₂ - г_х и направлена вдоль направления движения, как показано на рис. 1.6. Разделив эту разность на промежуток времени At = t₂ ~ t_v получим вектор «средней скорости».

Другими словами, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов в моменты t + At и t, деленной на At, при At, стремящемся к нулю:

Рис. 1.6. Перемещение частицы за малое время At = t₂ - <,

Таким образом, скорость — это вектор, потому что она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что компонентами скорости являются dx/dt, dy/dt и dz/dt. Подумав над этим, мы придем к выводу, что если мы дифференцируем по времени любой вектор, то получаем новый вектор. Итак, мы имеем несколько способов получения новых векторов: 1) умножением на константу, 2) дифференцированием по времени, 3) сложением или вычитанием двух векторов.