Переносы начала координат
Ограничим наш анализ законами механики, которую мы теперь знаем достаточно. В предыдущих главах мы видели, что законы механики можно свести к системе трех уравнений, справедливых для любой частицы:
Это означает, что существует такой способ измерить х, у и z вдоль трех перпендикулярных осей и силы вдоль этих направлений, что эти законы верны. Расстояния должны отсчитываться от некоторой начальной точки, но где мы должны расположить эту точку? Все, что сказал бы нам Ньютон, это то, что существует такое место, откуда мы можем начать отсчет (возможно, центр Вселенной), и при измерении расстояний от него эти законы справедливы. Но мы можем немедленно показать, что никогда не найдем этот центр, ибо если используем какую-нибудь другую точку, то не заметим разницы. Другими словами, предположим, что имеются два человека — Джо, с начальной точкой в одном месте, и Мо, у которого система координат параллельна первой, но с начальной точкой в другом месте (рис. 1.1). Когда Джо определяет положение точки в пространстве, он получает х, у и z (обычно мы опускаем г, потому что изображать эту координату на рисунке слишком хлопотно). С другой стороны, Мо получит другое значение х (чтобы их различать, будем называть его х') и, в принципе, другое значение у, хотя в нашем примере они численно равны. Мы имеем
Теперь для завершения анализа мы должны знать, какие силы измеряет Мо. Предполагается, что сила действует вдоль некоторой прямой, и под силой вдоль направления х мы понимаем часть общей силы, равную призведению величины силы на косинус угла между направлением силы и осью х. Теперь мы видим, что Мо может использовать те же проекции силы, что и Джо, так что мы получим систему уравнений
Таково количественное соотношение между величинами, как их видят Джо и Мо.
Вопрос состоит в следующем: если Джо знает законы Ньютона, то будут ли они справедливы, когда их будет использовать
Рис 1.1. Две параллельные координатные системы
Мо? Имеет ли значение выбор начала координат? Другими словами, предположим, что уравнения (1.1) верны, и что уравнения (1.2) и (1.3) определяют соотношение между измерениями. Верно или нет, что
Для проверки этих уравнений дважды продифференцируем выражение для х' по времени. Прежде всего
Теперь предположим, что начальная точка Мо зафиксирована (неподвижна) относительно Джо; поэтому а — постоянная и da/dt = 0, так что
и отсюда
вследствие чего часть (а) системы уравнений (1.4) превратится в уравнение
(Мы предполагаем также, что массы, измеренные Джо и Мо, равны.) Таким образом, произведение массы на ускорение у обоих получилось одинаковым. Мы получим также выражение для Fx., сделав подстановку из уравнения (1.1). В результате, найдем, что
Следовательно, законы с точки зрения Мо кажутся теми же самыми; он тоже может записать, с другими координатами, законы Ньютона, и они по-прежнему будут верны. Это означает, что не существует центра Вселенной, потому что законы будут теми же самыми, из какого бы положения мы ни вели наблюдения.
Верно также следующее: если мы имеем в одном месте некоторое оборудование, то такое же оборудование в другом месте будет работать таким же образом. Почему? Потому что одна машина, изучаемая Мо, подчиняется тем же уравнениям, как и другая, изучаемая Джо. Поскольку уравнения одинаковы, одинаковыми будут и явления. Так что доказательство, что аппарат в новом положении работает так же, как и в старом положении, равносильно доказательству того, что уравнения, будучи перемещены в пространстве, воспроизводят самих себя. Поэтому мы говорим, что законы физики симметричны относительно перемещений в пространстве, симметричны в том смысле, что законы не изменяются, когда мы совершаем перенос начала системы координат. Конечно же, это вполне очевидно интуитивно, но любопытно рассмотреть математическую сторону этого явления.
