Потенциальная энергия тяготения
Сохранение энергии можно понять только в том случае, если у нас есть уравнения для всех ее видов. Я хочу рассказать вам о формуле энергии тяготения у поверхности Земли, и вывести ее, но не так, как это было сделано исторически впервые, а просто рядом соображений, придуманных специально для этой лекции. Я хочу дать вам представление о том замечательном факте, что большая часть наших знаний о природе может быть извлечена из немногих фактов при помощи тщательного размышления. Это пример того, чем могут заниматься физики-теоретики. Вывод подсказан блестящими рассуждениями г-на Карно об эффективности паровых машин .
Рассмотрим грузоподъемные машины, которые обладают способностью поднимать один груз, опуская при этом другой. Также предположим в качестве гипотезы, что вечное движение этих машин невозможно. (На самом деле, недопустимость вечного движения — общая формулировка закона сохранения энергии.) Мы должны постараться дать как можно более точное определение вечного движения. Во-первых, давайте дадим такое определение для грузоподъемных устройств. Если мы подняли и опустили какие-то грузы, возвратили устройство в исходное положение и после этого обнаружили, что в результате оказался поднят некоторый груз, то мы получили вечный двигатель, потому что этот поднятый груз можно использовать, чтобы поднять что-то еще. Конечно, предполагается, что машина, поднимавшая грузы, возвращается точно в свое изначальное состояние, и, кроме того, она ни от чего не зависит, то есть, не получает энергию для поднятия грузов из какого-нибудь внешнего источника — как в примере с кубиками Брюса.
Рассмотрим простейшее устройство для подъема грузов, изображенное на рис. 4.1. Это устройство поднимает тройной вес. Мы кладем три единицы груза на одну чашу весов, и одну — на другую. Однако чтобы устройство сработало, нам придется снять небольшую часть веса с левой чаши. С другой стороны, мы можем поднять вес одной единицы и опустить вес трех единиц, если немного схитрим и уберем чуть-чуть вес на правой чаше. Конечно, мы понимаем, что для любого настоящего [1]
Рис. 4.1. Пример простой грузоподъемной машины
подъемного устройства будет необходимо добавить небольшой вес, чтобы оно заработало. Этим мы пренебрежем, временно. Идеальные машины, хоть они и не существуют, зато не требуют добавочного веса. Машину, которую мы на самом деле используем, можно считать почти обратимой: то есть, она может поднять вес трех единиц, опуская вес одной единицы, а потом поднять вес, почти равный весу одной единицы, на ту же высоту, опуская вес трех.
Представим, что существуют два типа устройств: необратимые, к которым относятся все реальные устройства, и обратимые, — но их, конечно, не существует в действительности, как бы тщательно мы ни продумывали их опоры, рычаги и т. д. Тем не менее, мы предполагаем, что существует такая обратимая машина, которая опускает единичный груз (один килограмм или любую другую единицу) на единичное расстояние, и при этом поднимает тройной груз. Назовем эту обратимую машину машиной А. Предположим, что эта конкретная обратимая машина А поднимает тройной груз на высоту X. Затем предположим, что у нас есть другая машина, В, не обязательно обратимая, которая также опускает единичный вес на единичное расстояние, но при этом поднимает тройной вес на высоту Y. Тогда возможно доказать, что Y не может превышать X; то есть, невозможно построить машину, которая поднимет груз хоть сколько-нибудь выше, чем обратимая. Давайте посмотрим, почему. Допустим, что Y выше X. Возьмем единичный груз и опустим его на единицу высоты при помощи машины В. При этом тройной груз поднимется на высоту У. Тогда мы смогли бы опустить этот груз с высоты У до X, получая энергию ниоткуда. Затем мы используем обратимую машину А, чтобы вновь опустить тройной груз на расстояние X и поднять единичный груз на единичную высоту. Это вернет единичный груз на то же самое место и приведет обе машины в первоначальное состояние готовыми к новой работе! Следовательно, если У больше X, то возникает вечный двигатель, что невозможно, как мы допустили выше. Исходя из этих предположений, мы можем заключить, что Y не больше X, так что обратимая машина была бы лучшей из всех, которые возможно соорудить.
Можно также показать, что обратимые машины должны поднимать груз на одну и ту же высоту. Предположим, что В — тоже обратима. Доказательство того, что Y не больше X, будет применимо и в этом случае, но, кроме этого, мы можем сделать и обратное заключение и доказать, что X не больше Y. Это, конечно, очень примечательный результат, потому что он позволяет нам анализировать высоты, на которые различные устройства поднимают грузы, не заглядывая в их внутреннее устройство. Если кто-то соорудит необычайно сложную систему рычагов для подъема тройного груза на определенную высоту за счет опускания единичного груза на единичное расстояние, и если мы сравним эту систему с простым обратимым рычагом, который делает то же самое, то эта система поднимет груз точно не выше простого рычага, а, скорее всего, ниже. Если даже эта система будет обратима, то мы точно знаем, насколько высоко она поднимет груз.
Вывод: каждая обратимая машина, по какому бы принципу она ни действовала, опуская 1 кг на 1 м, всегда поднимает 3 кг на одну и ту же высоту X. Ясно, что это универсальный и очень полезный закон. Другой вопрос, чему равно XI
Допустим, у нас есть обратимая машина, которая способна поднять на высоту X трехкратный груз. Закрепим три шара в неподвижном каркасе, как показано на рис. 4.2. Четвертый шар лежит на подставке на расстоянии 1 м от пола. Машина может поднять три шара за счет опускания одного на 1 м. Построим подвижную платформу, в которой закрепляются три шара, она имеет дно и две полки высотой X, а неподвижный каркас, в котором шары изначально находятся, устроен так же (рис. 4.2, а). Сначала мы перекатываем шары из каркаса на полки платформы (б) и допускаем, что это не требует расхода энергии, потому что высота при этом не меняется. Затем включим обратимую машину, и один шар скатывается на пол, поднимая каркас на высоту X (в). А мы так ловко устроили каркас, что шары снова находятся напротив полок. Тогда мы выгружаем шары в каркас (г). Выгрузив шары, мы можем вернуть устройство в первоначальное состояние. Теперь у нас три шара на трех верхних полках стеллажа и один — на полу. Но, как ни странно это звучит, мы, в определенном смысле, не подняли два шара из трех, потому что и раньше два шара находи-
Рис. 4.2. Обратимая машина
лись на полках 2 и 3. Так что в итоге мы подняли один шар на высоту ЗХ. Если бы ЗХ превышало 1 м, можно было бы опустить один шар, чтобы вернуть всю систему в исходное состояние (е), и начать работу снова. Поэтому ЗХ не может быть больше 1 м, ибо в противном случае мы получили бы вечное движение. Но подобным же образом мы можем доказать, что ЗХ не может быть меньше 1 м, заставив всю систему работать в обратном порядке, поскольку это обратимая машина. Поэтому ЗХ не больше и не меньше одного метра, и мы заключаем, на основе доказанного, что X = х/з м- Более общий вывод очевиден: при работе обратимой машины 1 кг падает с некоторой высоты; тогда машина может поднять р кг на 1 /р этой высоты. Тот же результат можно сформулировать иначе: произведение трех килограммов на высоту их подъема (в нашей задаче это был X) равняется одному килограмму, помноженному на высоту, с которой он опустился (в нашем случае 1 м). Если мы умножим все грузы на высоту, на которой они сейчас находятся, запустим обратимую машину, и после этого вновь умножим веса на их высоты, то получим то же число. (Здесь нужно обобщить наш пример, в котором мы перемещали один груз, на случай, когда мы поднимаем и опускаем несколько различных грузов, — но это очень просто.)
Это произведение суммы весов на высоту мы называем потенциальной энергией тяготения — т. е. энергией, которой обладает тело в силу своего положения в пространстве относительно Земли. Тогда формула для энергии тяготения, если не рассматривать слишком большие высоты (сила притяжения ослабевает с высотой) равняется
Это очень красивое рассуждение. Единственная проблема в том, что, возможно, оно и неверно. (В конце концов, природа не обязана следовать нашим рассуждениям.) Например, вдруг оказалось бы, что вечное движение на самом деле возможно. Некоторые допущения могут быть ошибочны, или мы можем допустить ошибку в рассуждениях, поэтому любое доказательство необходимо проверять экспериментально. Опыт показывает, что это рассуждение действительно верно.
Общее наименование энергии, которая зависит от положения одного тела относительно другого, — потенциальная энергия. В данном конкретном случае это — потенциальная энергия тяготения. Если же производится работа против электрических сил, а не сил тяготения, если мы будем «поднимать» заряды относительно других зарядов с помощью множества рычагов, то запас энергии будет называться электрической потенциальной энергией. Общий принцип заключается в том, что изменение энергии равняется силе, умноженной на величину изменения расстояния, на котором она действует:
По ходу курса мы еще не раз будем возвращаться к другим видам потенциальной энергии.
Принцип сохранения энергии очень полезен при предсказании того, что должно произойти в самых различных обстоятельствах. В школе мы изучали много законов о блоках и рычагах, используемых различными способами. Теперь мы видим,
Рис. 4.3. Наклонная плоскость
что все эти «законы» сводятся к одному-единственному, и нам не нужно зазубривать 75 правил. Простой пример — наклонная плоскость. Пусть это треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (рис. 4.3). Мы прикрепим к блочку груз весом в 1 кг и положим его на наклонную плоскость, а с другой стороны блока подвесим груз W. Требуется узнать, какой должна быть тяжесть W, чтобы уравновесить 1 кг на наклонной плоскости. Как это можно узнать? Допустим, система уравновешена, является обратимой и потому может двигаться вверх и вниз. Тогда рассмотрим следующую ситуацию. В начальном положении (а) груз весом в 1 кг находится у основания, а вес W — на вершине. Когда W скользит вниз, то груз в 1 кг поднимается на вершину плоскости, а груз W опускается (б) на длину склона, или 5 м, от того уровня, на котором он был раньше. Мы подняли 1 кг груза только на три метра, а груз W опустили на пять метров. Следовательно, W = /5 кг. Учтите, что мы вывели это из сохранения энергии, а не из разложения сил. Однако особого остроумия здесь не требовалось. То же самое можно доказать еще более блестящим способом, который был открыт Сте- вином и даже высечен на его надгробии. Схема на рис. 4.4
о
показывает, что груз W должен равняться /5 кг, не больше и не меньше, потому что цепь не вращается сама собой. Очевидно, что нижняя часть цепи уравновешивается сама собою, так что сила тяги трех шаров с одной стороны должна уравновешиваться силой тяги пяти шаров с другой, или другим количеством, в зависимости от соотношения длин сторон. Глядя на эту схему, становится очевидным, что W должно равняться 3/5 кг (если на вашем надгробии начертают подобную эпитафию, значит, ваша жизнь не прошла зря).
Рис. 4.4. Эпитафия Стевину
А вот задача посложнее: домкрат, изображенный на рис. 4.5. Рукоятка в 50 см используется для того, чтобы вращать винт, имеющий 5 витков на 1 см. Требуется узнать, какая сила должна быть приложена к рукоятке, чтобы поднять одну тонну. Если мы хотим поднять 1 тонну на 1 см, то мы должны повернуть рукоятку вокруг 5 раз. За один круг она описывает примерно 314 см, так что за 5 оборотов она должна пройти 15,7 м, и если мы применим систему различных блоков, шкивов и т. д., то сможем поднять 1 тонну при помощи некоторого меньшего веса W, приложенного к концу рукоятки. Так мы обнаруживаем, что W равняется примерно 640 г. И все это следует из закона сохранения энергии.
Возьмем теперь несколько более сложный пример, показанный на рис. 4.6. Брус или прут длиной 8 м имеет опору на одном конце. В середине бруса находится вес в 60 кг, а в двух метрах от опоры — еще один груз, весом в 100 кг. С какой силой мы должны тянуть вверх другой конец бруса, чтобы удерживать его в равновесии, если пренебречь весом бруса? Допустим, мы
Рис. 4.5. Домкрат
Рис. 4.6. Нагруженный брус с опорой на одном конце
присоединяем к концу бруса блок и подвешиваем к нему некоторый груз. Каким должен быть его вес W, чтобы уравновесить систему? Представим себе, что вес опускается на любое произвольное расстояние — чтобы облегчить себе подсчеты, допустим, что он опустился на 4 см — насколько при этом поднимутся два груза? Груз посередине поднимется на 2 см, а груз, находящийся в четверти длины от закрепленного конца бруса, поднимется на 1 см. Следовательно, исходя из того принципа, что сумма произведений высот на веса не меняется, мы можем заключить, что, если вес W, умноженный на 4 см, вычесть из суммы произведений 60 кг на 2 см и 100 кг на 1 см, то должен получиться 0:
Так что нам потребуется груз в 55 кг, чтобы уравновесить брус. Идя таким путем, мы можем разработать законы «равновесия» — статику сложных мостовых сооружений и т. д. Этот метод называется принципом виртуальной (т. е. воображаемой) работы, потому что для использования такого метода доказательства мы должны представить себе, что система совершает незначительное движение — даже если на самом деле она не двигается или вообще не может двигаться. Достаточно использовать очень маленькое воображаемое движение, чтобы применить принцип сохранения энергии.
- [1] Нашей целью здесь является не итоговая формула, которую вы уже, наверное, знаете, а возможность прийти к ней теоретическим путем.
