РАЗЛИЧЕНИЕ ПУАССОНОВСКИХ ПОТОКОВ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ИНТЕНСИВНОСТЯМИ

Случайные потоки событий или сигналов представляют важные модели наблюдений в радиотехнических задачах [18], [24]. Пусть наблюдаются два или больше случайных пуассоновских потоков с неизвестными интенсивностями. Требуется решить, имеют ли все они одинаковую интенсивность, или хотя бы один из потоков отличается по интенсивности от остальных.

Различение потоков в режиме счета событий (например, счета фотоэлектронов или квантов различных излучений) можно производить методом прямой выборки или методом обратной выборки.

ОБНАРУЖЕНИЕ В РЕЖИМЕ ПРЯМОЙ ВЫБОРКИ

В режиме прямой выборки (счета событий на фиксированном временном интервале) регистрируются k0 событий из одного потока за время Т0 и kx событий из другого потока за время Тх, т. е. наблюдением является совокупность отсчетов (fe0, kx).

Если предположить, что первый (опорный) поток имеет интенсивность v0, а второй (анализируемый) — интенсивность Vj, причем значения интенсивностей неизвестны, то задача различения формулируется так: проверяется сложная гипотеза Н0: v0 = vx, v0 — неизвестна, против односторонних сложных альтернатив Я}1’ :vx >v0, Я{2): Vj < v0, или двусторонней альтернативы Нх3) :vj *v0. Проверка гипотезы Я{2) не отличается от проверки Н[1), если опорный и анализируемый потоки поменять местами. Проверка двусторонней альтернативы представляется как одновременная проверка двух гипотез Н[1] и Я{2).

Совместное распределение вероятностей отсчетов (k0, kx) имеет вид P(k0,k1) = {v0T0)k°(v1T1)b exp(-v07b!). Оно представляется в экспоненциальной форме с выделением «полезного» параметра X = ln(vxTi/v0T0) и «мешающего» параметра cp = 1п(у00) и соответствующих достаточных статистик и = kx, v = kx + k0 [!]• Условное распределение и при фиксированном значении и есть биномиальное распределение р(и и) = C“ри (1 - p)v~u, 0 < и < о, гдер — параметр, имеющий значения от нуля до единицы; C“ — биномиальные коэффициенты.

Задача проверки гипотез формулируется теперь следующим образом: Я0: р = р0, н[1]:р = рх, гдер0 = ТХ/(ТХ + + Т0) — известное значение, а рх = v1T1/(v17’1 + v0T0) зависит от неизвестных интенсивностей потоков. Таким образом, проверяется гипотеза об изменении параметра биномиального распределения.

Оптимальное (рандомизированное) решающее правило 8(и, и) сводится к сравнению с пороговой функцией L(u) статистики и [12], [14], [16]: 8(и, и) = 1 при и > Цо); 8(и, и) = = у(о) при и = L(v); 8(и, и) = 0 при и < L(v).

Пороговые функции L(u) и у(о) определяются из уравнения P0(v) = М0{8(и, о)|о} = F0, где математическое ожидание М0{ } берется по распределениюр0(и|о) при гипотезе Я0, а F0 — заданное значение вероятности ложной тревоги.

Рандомизированное решающее правило включает случайный механизм принятия решения в случае, если и = = Uv).

Решение в пользу Нх в этом случае принимается с вероятностью

Фактически рандомизация требуется лишь при весьма слабых шумовых полях и малых интервалах наблюдения. На практике предпочтительнее построение нерандомизированного правила как более простого. В этом случае можно положить у(о) = 1 и потребовать ограничения вероятности ложной тревоги при всех значениях и.

Для реализации обнаружителя необходимо построить пороговую функцию L(v), которая принимает целочисленные значения. При не очень больших значениях и она может быть получена точно [17].

Рассмотрим сначала случай одинаковых интервалов регистрации потоков Тх = Т0, тогдар0 = 1/2, и биномиальное распределение р0 = (и|о) будет симметрично, а функция

Удобнее перейти к другой функции а(и) = -1 gP0(u), которая равнаа(о) = olg2 - lg[l + v + v(v - l)/2! + ... + v(v - - l)(o - 2+ 1)//!], где l = v - L(u). Графики функции a(u) дискретного аргумента построены на рисунке 3.2 для

Рис. 3.2

Зависимость показателя степени вероятности ложной тревоги от значений статистики и

I = 0, 1, 2, 3, 4 (точки соединены пунктиром). Они полезны для анализа режима счета событий (точек, фотоэлектронов) при малых значениях v0T0. Верхняя ломаная линия соединяет значения функции а (о), обеспечивающие для и > 4 граничное значение вероятности ложной тревоги V, т. е. ближайшие значения, удовлетворяющие условию а(о) > 1. Эти точки выделены жирным.

Пороговая функция в данном случае определяется следующим образом: L(u) = 0+1, при и = 1,2, 3; L(u) = и при о = 4,5, 6; L(o) = о-1 при о = 7, 8; L(o) = о - 2 при о = 9, 10, 11 ит. д. Другое значение F0 приведет к изменению вида пороговой функции.

Следует отметить, что значения пороговой функции L(o) в случае пуассоновских отсчетов будут существенно меньшими, чем для ряда других распределений шумовых полей (Бозе— Эйнштейна идр.), рассмотренных в [14], [18], и эти различия увеличиваются с ростом о.

При больших значениях v0T0, которые будут указаны далее, условное распределение р0(ии) можно аппроксимировать гауссовским с соответствующими моментами. Пороговая функция приближенно представляется в виде L(v) = *cF^jр0(1-p0) yjv + p0v+ 1/2. Наличие в пороговой функции членов, пропорциональных величинам и и /и, является особенностью задачи обнаружения при пуассоновской статистике отсчетов (так называемый закон квадратного корня [39]).

Пользуясь таблицами биномиального распределения из [13], можно установить, что абсолютная ошибка вычисления условной вероятности ложной тревоги Р0(о) при нормальной аппроксимации не превышает половины заданного значения F0, если и больше некоторого значения oF, которое при уменьшении F от 10“2 до 10~6 изменяется в пределах 30-100.

Если значение у0Г0 превышает уровень, для которого Р(о > Up) > 1 - F0/2, то безусловная вероятность ложной тревоги

Таким образом, можно указать граничные значения у0Т0, начиная с которых безусловная вероятность ложной тревоги в худшем случае не превысит заданного значения Г0. Для Р0= 10~2, 10 “4, 10 6 граничные значения равны соответственно 24, 44 и 78.

При неравных значениях интервалов Т0 и Тх распределение р0(ии) оказывается несимметричным и гауссовская аппроксимация для него может оказаться неудовлетворительной. Более точное приближение в этих случаях можно осуществить следующим образом (так называемый метод «подвешенной» переменной).

Вводится опорное распределение ра(ии), которое в данном случае является биномиальным с фиксированным параметром ра0- Тогда любое другое биномиальное распределение р(ии), представляется через опорное:

где

Это представление легко проверить подстановкой ра(и|о). Теперь выбором ра = 1/2 можно обеспечить симметрию «опорного» распределения, которое затем аппроксимируется гауссовским распределением.

Решение уравнения Р0(и) = Р0 приводит к выражению

где есть 100 - Рх — процентная точка нормального

распределения, зависящая от значения и. Значение Рх(и) отличается от требуемого значения Р0 и само нелинейно зависит от и:

Заметим, что при значении р0 = 1/2 Рх(и) = Р0, так как 0 = 0.

Предложенный метод вычисления пороговой функции не исключает использования более точной, чем гауссовская, аппроксимации для опорного распределения ра(ии).

Для расчета вероятности правильного обнаружения необходимо усреднить условную вероятность

где 1Да, Ь) — функция В-распределения, по соответствующему распределению статистики и, которое является пуассоновским с параметром

Если величина у00 превышает указанное выше граничное значение, то можно пользоваться нормальным приближением распределения р(ии) при гипотезе Нх. В этом случае * 1 - Ф(Сд), где

Отсюда следует, что условная вероятность правильного обнаружения зависит от . В качестве параметра обнаружения можно использовать относительное изменение интенсивности § = (у1 - у0)/у0, а также дефлекцию статистики к,х, равную Она

зависит от б и пропорциональна корню квадратному из у0.

Для пороговой дефлекции ?(0,5), которая обеспечивает вероятность правильного обнаружения I) = 0,5, из условия Сц = 0 получается следующее соотношение:

Оно зависит от значения статистики V. Можно показать, что математическое ожидание величины равно М{о1/2}«т*/2-1/(8т?/2)»т?/2, гдет„ = у0Г0 + у^ — математическое ожидание статистики и. Тогда указанное соотношение принимает вид

При достаточно больших А0 = у0Т0, таких, что <1(0,Ъ) / пороговая дефлекция Если

интервалы наблюдений одинаковы I

и пороговая дефлекция возрастает в %/2 раза по сравнению со случаем известной интенсивности и одноканального приема [1], [2]. Уменьшение Тх при постоянном значении Т0 соответствует уменьшению интервала наблюдения анализируемой выборки и вызывает существенное возрастание пороговой дефлекции.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >