Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Физика arrow Изучение полупроводников в курсе физики твердого тела

Лабораторная работа №№1-2 ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА СПЛОШНОГО ЦИЛИНДРА

с последующим возможным определением материала, из которого изготовлен данный объект.

Цель работы

Целью данной работы является получение студентами практических навыков измерений физических величин, правильной оценки неопределенностей прямых и косвенных измерений и усвоение логической последовательности в оформлении протокола эксперимента.

Главная задача - закрепление на практике основных положений теории неопределенностей при измерениях физических величин.

Основные теоретические положения

Получение и закрепление навыков проведения и обработки результатов прямых и косвенных измерений имеет смысл проводить на простейших моделях. В качестве такой модели выбран сплошной цилиндр.

Перед выполнением лабораторной работы студенту следует ознакомиться с методикой измерений с помощью штангенциркуля, правилами обработки результатов измерений, изложенными в данном пособии, а также подробно изучить приведенный ниже пример «Измерение объема конуса». Это позволит закрепить правила оценки неопределенностей прямых и косвенных измерений, усвоить структуру отчета по эксперименту.

Пример. Измерение объема конуса

На рис. 2 представлено тело в виде конуса. Необходимо определить объем данного объекта. Расчетной формулой в этом случае является

где П - диаметр конуса; Н - высота конуса.

Конус

Рисунок 2 - Конус

Прямые измерения - это измерения высоты и диаметра конуса, а определение его объема является косвенным измерением на основе рабочей формулы (4).

Измерения высоты и диаметра будем проводить штангенциркулем с ценой деления 0.05 мм. Правила работы со штангенциркулем приведены в приложении данной работы. Проведем серию из П измерений Пи Н. Данные прямых измерений Пи Н занесем в таблицу 1 для числа измерений П = 10.

Оценим отдельно вклад случайных и систематических (приборных ошибок) в вычислении неопределенности (погрешности) прямых измерений. Будем считать, что случайные ошибки измерений подчиняются закону нормального распределения. Грубые ошибки (промахи) исключим из измерений.

Таблица 1 - Запись данных измерений.

Ни

Шс-Н,).

ср-НУ,

П„

Ср-П,),

ср-П,У,

опыта

мм

мм

мм2

мм

мм

мм2

1

43.25

0.05

0.003

18.45

0.04

0.002

2

43.15

0.05

0.003

18.40

0.01

0.0001

3

43.20

0.00

0.0000

18.45

0.04

0.002

4

43.15

0.05

0.003

18.35

0.06

0.004

5

43.25

0.05

0.003

18.40

0.01

0.0001

6

43.25

0.05

0.003

18.40

0.01

0.0001

7

43.15

0.05

0.003

18.40

0.01

0.0001

8

43.20

0.00

0.0000

18.40

0.01

0.0001

9

43.15

0.05

0.003

18.45

0.04

0.002

10

43.25

0.05

0.003

18.35

0.06

0.004

Среднее

43.20

18.41

Обработка результатов прямых измерений

1. Определить среднее арифметическое значение измеряемых величин по формуле:

аналогично

Результаты вычислений по этим формулам дают:

Нср = 43.20 мм; Вср = 18.42 мм.

  • 2. Вычислить отклонения результатов отдельных измерений I), и Я, от их средних арифметических значений, а затем рассчитать квадратичные отклонения. Результаты записать в таблицу 1.
  • 3. По данным таблицы 1 определить среднее квадратичное отклонение 5 результата серии из П= 10 измерений для диаметра и высоты конуса.

Вычисления 3(Нср) и 5(Т)ср] нужно провести по формулам:

аналогично

Вычисления дают следующие значения: 3(Нср) = 0.016 мм, вфср) = 0.012 мм.

Так как измерения производятся штангенциркулем с ценой деления 0.05 мм, то данные для 3(Нср) и 3(Вср) следует округлить до сотых.

Тогда 3(Нср) =0.02 мм, 3(0ср) = 0.01 мм.

4. Следующий этап - оценка доверительного интервала, т.е. интервала, в котором с заданной вероятностью Р находится измеряемая величина.

Границы доверительных интервалов для измеряемых величин определяются по формулам:

где Ь(Р,п) - коэффициент Стьюдента, зависящий от Р и П. Значение ЦР,п) при заданных значениях Р и П представлены в таблице 2.

Таблица 2 - Значение коэффициентов Стьюдента ЬР п

р

П

0.7

0.8

0.9

0.95

0.98

0.99

0.999

2

1.3

1.9

6.31

12.71

31.82

63.66

636.62

3

1.3

1.6

2.92

4.30

6.69

9.92

31.60

4

1.2

1.5

2.35

3.18

4.54

5.84

12.94

5

1.2

1.5

2.13

2.78

3.75

4.60

8.61

6

1.1

1.4

2.02

2.57

3.36

4.03

6.86

7

1.1

1.4

1.94

2.45

3.14

3.71

5.96

8

1.1

1.4

1.90

2.36

3.00

3.50

5.40

9

1.1

1.4

1.86

2.31

2.90

3.36

5.04

10

1.1

1.3

1.83

2.26

2.82

3.25

4.78

50

1.1

1.3

1.7

2.0

2.7

100

1.0

1.3

1.7

2.0

2.6

00

1.0

1.6

2.0

2.6

В практике учебных лабораторий принято брать значение Р ~ (0.68н- 0.9).

В нашем случае мы имеем дело с достаточно точными измерениями и можем считать Р ~ 0.9. Тогда, как видно из таблицы 2, при Р = 0.9 и П = 10 коэффициент Стьюдента ?(Р,п) = 1.83.

С учетом этого вычислим значение АН , и ДИ ,:

5. Теперь оценим вклад систематических (приборных) ошибок в наши измерения. При измерениях с помощью штангенциркуля систематическую составляющую неопределенности будем считать равной половине цены деления штангенциркуля, то есть

В данном случае приборная ошибка соизмерима со случайными ошибками. Поэтому необходимо оценить границу доверительного интервала для суммарной неопределенности, обусловленной обоими типами ошибок.

Вычисление будем проводить по формуле:

где х - измеряемая величина; Аха - граница доверительного интервала, обусловленная случайными ошибками измерений; Ахъ - граница доверительного интервала, вызванная систематическими ошибками.

Вычисления по формуле (11) дают:

В соответствии с правилами округления можно принять АН = 0.04 мм; АН - 0.04 мм .

6. Результаты прямых измерений следует записать в стандартной форме: Окончательно:

Обработка результатов косвенных измерений

После проведения прямых измерений следует по рабочей формуле (4) вычислить среднее значение объема конуса:

Затем следует оценить неопределенность (погрешность) косвенных измерений.

Для этого необходимо выполнить следующие этапы:

а) вывести формулу относительной неопределенности искомой величины

  • б) по полученной формуле вычислить значение у ;
  • в) определить границу доверительного интервала для косвенного измерения:

Окончательный результат представить в стандартной форме:

Вывод формулы относительной неопределенности

Как видно из формулы (4), искомая величина V является функцией двух переменных О и Н, т.е. V можно записать в виде:

где а-1, [1=2.

В случае такой простейшей функциональной зависимости выражение для относительной неопределенности у можно записать как:

Для вычисления у в формулу (13) подставим средние значения результатов прямых измерений Нср и ?>ср, и граничные значения их доверительных интервалов АН и AD.

Вычисления у дают:

По правилам округления запишем у с точностью до двух значащих цифр у=4.4*1 (У2.

Вычислим границу доверительного интервала косвенного измерения:

Согласно правилам округления, AV запишем с точностью до двух значащих цифр (так как первая значащая цифра в AV меньше 4) и до того же знака округлим результат V .

Тогда

Окончательный результат представим в стандартной форме:

получим У=(3.83±0.17)*103 мм или V=(3.8±0.2)*103 мм.

Лишь после ознакомления с правилами измерений штангенциркулем и обработки результатов этих измерений, представленных в данном примере, следует приступать к выполнению данной лабораторной работы.

Измеряемый объект

В данной лабораторной работе измеряемым объектом является сплошной цилиндр (рис. 3). Для вычисления объема цилиндра следует провести прямые измерения диаметра цилиндра (D) и его высоты (Н) с помощью штангенциркуля.

Цилиндр

Рисунок 3 - Цилиндр

Объем цилиндра вычисляется по рабочей (расчетной) формуле:

Порядок выполнения работы

1. Измерить высоту и диаметр цилиндра 10 раз, результаты измерений занести в таблицу по форме, аналогичной табл. 1 в приведенном примере.

Замечание: если цилиндр не идеальной формы, то измерение И следует проводить по диаметрам на разной высоте цилиндра, а высоту Н - в нескольких различных местах оснований цилиндра.

Вычисление и обработка результатов измерений

1. Провести обработку результатов прямых измерений. Вычислить

средние арифметические значения Нср и Д.р для серии измерений. Затем определить отклонения результатов отдельных измерений от их средних арифметических значений - (//сп-//,) и (Лср-Д). Далее вычислить квадратичное отклонение - Все результаты занести в таблицу по форме

табл. 1.

  • 2. Определить средние квадратичные отклонения 3{Нср) и 5(Оср) результата серии измерений от среднего арифметического значения для каждой измеряемой величины.
  • 3. Вычислить границы доверительных интервалов Ай и АН за счет случайных ошибок.
  • 4. Оценить систематическую (приборную) неопределенность и сравнить ее с неопределенностью измерений, вызванных случайными ошибками. Если эти ошибки сравнимы, то вычислить суммарную неопределенность каждого прямого измерения, обусловленную обоими типами ошибок. Определить границы доверительных интервалов Ай и АН, обусловленных обоими типами неопределенностей.
  • 5. Записать результаты прямых измерений в стандартной форме:

учитывая правила округления величин.

6. Рассчитать среднее значение объема цилиндра Уср по рабочей формуле (14), куда подставить средние значения результатов прямых измерений Нср и

А*.

7. Вывести формулу для расчета относительной неопределенности косвенного измерения. Затем вычислить у по полученной формуле.

8. Оценить границу доверительного интервала для косвенного измерения,

т.е.

9. Окончательно записать результат в стандартной форме:

Приложение. Методика измерений с помощью штангенциркуля и микрометра

Измерение с помощью штангенциркуля

При расчете неопределенностей следует помнить, что математические действия не могут повысить точности измерений.

Точность измерения повышается с помощью нониуса. В штангенциркуле (рис. 4) нониус представляет собой небольшую линейку, которая может перемещаться вдоль основной.

Пусть П - число делений на шкале нониуса;

X - цена деления шкалы нониуса;

У- цена деления шкалы основной линейки.

, где Ь- точность штангенциркуля, выгравирована на приборе.

Следовательно, чем меньше цена деления основной линейки и больше делений на нониусе, тем точнее можно произвести измерение. Для измерения длины предмета с помощью нониуса необходимо расположить предмет между нулевыми делениями основной линейки и нониуса. Отсчитав число целых делений масштаба, найти то деление нониуса, которое совпало с каким-либо делением основной линейки.

Длина предмета определяется по формуле:

/ = /3 + кк где / - длина предмета, (3 - число целых делений основной линейки, к - номер деления нониуса, совпадающего с каким-либо делением масштаба, Ь- точность нониуса.

Принцип измерения длины предмета

Рисунок 4 - Принцип измерения длины предмета

Для случая, рассмотренного на рисунке:

Д = 4 мм; ? = 0.1 мм; к = 5; / =4 мм + 5*0.1 мм =4.5 мм.

Измерения с помощью микрометра

При измерениях штангенциркулем величину вычисляемой средней неопределенности (погрешности) следует сравнивать с точностью нониуса.

Для более точных измерений длины применяются микрометры. В микрометрах используется микровинтовая пара, преобразующая вращательное движение в поступательное. Так, если шаг микровинта равен 0.5 мм, то при одном полном обороте винта его конец перемещается на 0.5 мм, если головка винта имеет круговую шкалу с 50 делениями, то поворот его на одно деление вызывает смещение на 0.01 мм, т.е. цена деления круговой шкалы будет равна 0.01 мм. При измерениях микрометром доли деления по круговой шкале следует округлять до половины значения и предельную приборную неопределенность считать равной ±0.005 мм. Перед началом измерений следует обязательно проверить положение нулевого отсчета.

Контрольные вопросы

  • 1. Как найти среднее квадратичное отклонение?
  • 2. Каков смысл вероятности?
  • 3. Что показывает величина доверительного интервала?
  • 4. Каков смысл относительной неопределенности?
  • 5. Каковы отличия штангенциркуля от микрометра?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы