СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Рассмотрим механическую систему, состоящую из упругого сооружения, которое несет груз массой т. Массой сооружения по сравнению с массой груза будем пренебрегать. Пусть система имеет одну степень свободы. Не умаляя общности, рассматриваемую систему можно представить в виде массы т, скрепленной с линейно упругой пружиной (рис. 11.4).

Рис. 11.4

Пусть масса т движется в направлении оси Координату 4 будем отсчитывать от положения статического равновесия системы. Составим уравнение движения массы т. Для этого воспользуемся принципом Даламбера и добавим к силе упругости пружины X силу инерции, равную произведению массы тела на ускорение, т. е. /п|. Силу инерции направляем противоположно направлению ускорения. В упругой системе перемещения пропорциональны действующим силам, поэтому представим ? = 8цХ, где 8_П — перемещение, вызываемое единичной силой. Приравнивая к нулю сумму проекций всех сил на ось 4, получим уравнение движения системы:

или

где обозначено

Движение системы, описываемое уравнением (11.2.1) или (11.2.2), называется свободными, или собственными колебаниями, а величина а, определяемая формулой

(11.2.3), называется круговой частотой собственных колебаний.

Общий интеграл однородного дифференциального уравнения (11.2.2) можно записать в виде

где постоянные С_х и С₂ определяются положением и скоростью массы т в начальный момент времени.

Решение (11.2.4) можно записать еще иначе:

Постоянная А называется амплитудой колебаний, а <р — фазой.

Промежуток времени Т между двумя соседними одинаковыми значениями смещения с, называется периодом колебаний. Его можно определить из формулы (11.2.5), давая аргументу синуса приращение, равное периоду этой функции, т. е.

отсюда

Величина, обратная периоду, называется частотой колебаний:

Из решения (11.2.5) следует, что амплитуда свободных колебаний никак не связана со временем. Это означает, что свободные колебания могут продолжаться неограниченно долго. Однако это лишь идеальный случай. В реальных механических системах всегда есть внешние силы, направленные противоположно движению масс и приводящие к постепенному затуханию колебаний. Такие силы называются силами сопротивления.

Рассмотрим простейший случай так называемого линейного сопротивления, когда сила сопротивления пропорциональна скорости массы т. Добавляя ее в левую часть уравнения (11.2.1), будем иметь

где а — коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью.

Обозначим

При этом уравнение движения (11.2.8) принимает следующий вид:

где круговая частота со по-прежнему определяется формулой (11.2.3).

Движение, описываемое дифференциальным уравнением (11.2.10), называется колебательным движением

с линейным затуханием. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что общее решение этого уравнения представимо в виде

Здесь обозначено

Рис. 11.5

Из решения (11.2.11) видно, что при наличии линейного сопротивления колебания механической системы происходят с круговой частотой <л>1, меньшей частоты свободных колебаний ю, и с уменьшающейся амплитудой (рис. 11.5).

В течение одного периода Т амплитуда колебаний уменьшается в отношении

Как видим, это отношение остается постоянным. Величину е^пТ называют декрементом затухания, а ее натуральный логарифм, равный пТ, — логарифмическим декрементом затухания. Кроме двух указанных величин затухающие колебания часто характеризуют также добротностью системы, которая определяется отношением

Рис. 11.6

Пример. На стальной двутавровой балке (рис. 11.6, а) установлен двигатель массой т = 2000 кг. Определить частоту собственных колебаний балки, если / = 4 м. Как изменится частота колебаний балки, если двигатель поместить в среду с сопротивлением

Решение. Определим единичное перемещение 8_П по правилу Верещагина. Для этого прикладываем к балке под центром двигателя единичную силу X = 1 (рис. 11.6, б) и строим эпюру изгибающих моментов от этой нагрузки (рис. 11.6, в). Перемещение 8_П найдем умножением единичной эпюры изгибающих моментов на эту же эпюру:

По таблице сортамента находим для двутавра № 36 J = J_x = 13380 см⁴ = 1,338 • 10 ⁴ м⁴. Принимая модуль упругости стали Е — 2 • 10^п Па, находим

Теперь по формуле (11.2.3) вычисляем

Для определения частоты собственных колебаний при наличии сопротивления подсчитываем по формуле (11.2.9) параметр п:

Тогда, согласно формуле (11.2.12), частота затухающих колебаний будет

Таким образом, в среде с заданным сопротивлением уменьшение круговой частоты колебаний балки составляет