Определение реакции цепи на воздействие произвольной формы с помощью временных характеристик

Определение реакции цепи на воздействие произвольной формы с помощью переходной характеристики цепи

В основе определения реакции линейной электрической цепи на воздействие произвольной формы с использованием ее временных характеристик лежит принцип наложения: входное произвольное воздействие цепи представляют в виде суммы типовых воздействий, далее определяется отклик цепи на типовое воздействие (т.е. временная характеристика цепи), а затем, суммируя отклики на типовые воздействия, получают отклик цепи на входное воздействие произвольной формы.

С помощью единичной функции можно определить аналитическую запись как кусочно-непрерывных, так и непрерывных функций.

Если на входе цепи - кусочно-непрерывная функция (13.1) в виде прямоугольного импульса (рис. 13.12, а), ее можно записать в следующем виде:

Рис. 13.12

Однако такая запись недостаточно удобна для теоретического исследования процессов, поскольку требует учета границ сушествования функции. Заданную функцию можно сформировать с помощью двух функций включения (рис. 13.12, б):

Такая форма записи не требует учета границ существования функции и, кроме того, позволяет легко определить отклик цепи на данный импульс с использованием переходной характеристики. Действительно, функция включения Ат • 1(Г) дает отклик АтИ{1), а функция включения дает отклик

. А так как отклик суммы равен сумме откликов, то для отклика цепи на воздействие прямоугольного импульса получаем:

Если воздействие Д/) (рис. 13.13) является непрерывной функцией, то оно может быть заменено суммой ступенчатых воздействий.

Рис. 13.13

Первую ступеньку (рис. 13.13) можно записать в виде , вторую - , третью -

. Вся ступенчатая функция определяется суммированием ступенек:

где п - число промежутков, на которые разбит интервал времени от 0 до /.

Функция включения /(0) • 1(/) дает отклик /(0)Л(0, функция включения - отклик , а так как

отклик суммы равен сумме откликов, то в итоге для отклика цепи на ступенчатое воздействие можно записать:

Чтобы получить выражение для отклика, соответствующего не ступенчатому, а непрерывному воздействию, необходимо промежутки (скачки) времени Дт уменьшить до бесконечно малой величины г/т, а число промежутков увеличить до бесконечности (я->оо ). В этом случае сами скачки будут величинами бесконечно малыми, т.е. а

сумма в выражении (13.4) перейдет в интеграл. Таким образом, отклик цепи х(г) на непрерывное воздействие Д/)

где /'(т) - производная воздействующей функции в точке /= т.

Полученное выражение и его частные виды принято называть интегралами наложения или интегралами Дюамеля. Соотношение (13.5) есть первая форма интеграла Дюамеля.

Из теории определенных интегралов известно, что для любых двух функций/|(/) и/2(/) существует соотношение

которое является интегралом свертки. Это соотношение легко проверить путем замены переменных интегрирования.

Для получения второй формы интеграла Дюамеля воспользуемся свойством коммутативности свертки. Тогда

Используя интегрирование по частям в первой форме записи интеграла Дюамеля, найдем третью форму записи:

Подставив пределы интегрирования, получим:

Согласно свойству коммутативности свертки, выражение

(13.7) можно записать так:

Уравнение (13.8) является четвертой формой интеграла Дюамеля.

Пятая и шестая формы интеграла Дюамеля имеют вид:

Ту или иную форму записи интеграла Дюамеля выбирают в зависимости от вида функций /(/) и /;(/). Например, если ДО) = 0, то удобнее первая и вторая формы записи, так как первое слагаемое в этих формах записи обращается в нуль. Если h(0) = 0, то целесообразно использовать третью или четвертую форму записи. Если h (/) выражается через экспоненциальную функцию, то следует предпочесть формулу (13.7) или

(13.8) , так как экспоненциальные функции просто дифференцируются.

Если входное воздействие имеет разрывы первого рода в точках , то при определения отклика на

интервале tk=i < 1 k необходимо взять интеграл по всем областям непрерывности до момента времени /= tk и прибавить сумму реакций на скачки в точках разрыва доданного момента времени. Если отклик цепи на воздействие определяется в момент времени /, до которого воздействие испытывает п скачков, то

Уравнение (13.9) является общей записью первой формы интеграла наложения при разрывном воздействии. Оно предполагает решение по интервалам непрерывности. Например, для определения реакции цепи в интервале ()

Рис. 13.14

Аналогично для интервала /|2 следует учесть скачки при / = 0 и /= /), а интервал интегрирования разбить на два - от 0 до ^ и от /| до /:

В интервале /2

Для к-го интервала реакция цепи записывается так:

где п - число скачков до момента времени К1к ? Следует иметь в виду, что каждое из вычисленных соотношений справедливо только на своем интервале.

Рассмотрим примеры определения реакции цепи на произвольное воздействие по переходной характеристике.

Пример 13.1. На вход гС-цепи (рис. 13.15, а) подается линейно возрастающее напряжение (рис. 13.15, б). Найти напряжение на сопротивлении /-методом интеграла Дюамеля.

Р и с. 13.15

Решение. Входное напряжение аналитически запишем в виде при , где Тогда . Переходная характеристика цепи

Воспользовавшись первой формой записи интеграла Дюамеля, получим:

График выходного напряжения показан на рис.13.15, в.

Пример 13.2. Определить напряжение иг(I) на выходе четырехполюсника, схема которого представлена на рис. 13.16, а, если на вход его подается единичный экспоненциальный импульс «ДО (рис. 13.16, б):

Рис. 13.16

Решение. Будем считать, что переходная характеристика цепи задана:

Функция воздействия имеет разрывы первого рода в точках / = 0 и

/=ти. В интервале 0<г<ти «,)*0 , в интервале ти

В этом случае решение задачи необходимо проводить по формуле

(13.9). Определим составляющие первой формы записи интеграла наложения:

Для промежутка времени 0и

Для интервала ти <г<ос необходимо учесть реакции от скачков в точках разрыва 1 = 0, г = ти и взять интеграл по всем областям непрерывности:

При Г= ти скачок «,(;) равен

а последний интеграл в предыдущем выражении равен нулю, так как для всего интервала Следовательно,

График напряжения иг(1) приведен на рис. 13.16, в.

Таким образом, все четыре формы интеграла наложения (Дюамеля) равнозначны.

Рассмотренные примеры показывают, что метод наложения позволяет определять реакцию цепи на произвольное воздействие по переходной характеристике цепи в свернутом виде (без разложения на свободную и принужденную составляющие).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >