Основы расчета магнитных полей промышленной частоты в задачах экологии. Основные допущения

В задачах экологии расчет МП проводится в воздухе и при этом считается, что МП создается проводами, обтекаемыми токами. Такое допущение, связанное с неучетом изменения во времени электрического поля вполне приемлемо на низких частотах и не вносит в расчет заметной погрешности. По физической сути оно сводится к тому, что не учитываются магнитные поля токов смещения.

Наличие ферромагнитных тел учитывается только при необходимости оценки местного искажения поля, и при этом считается, что ферромагнитное тело, например, водопроводная труба, находится в однородном МП и размеры ферромагнетика малы по сравнению со всей рассматриваемой областью.

Основной расчетный метод — принцип суперпозиции, т.е. МП является суммой магнитных полей, созданных отдельными частями (элементами) проводников.

Физической основой расчета является закон Био—Савара, согласно которому напряженность МП (или индукция) может быть вычислена с помощью интеграла по отрезку провода, обтекаемому током.

В ходе расчета используются математические модели проводов, такие, например, как «бесконечный провод» или «отрезок провода, обтекаемый током». В действительности нет бесконечных проводов, однако при определенных условиях магнитное поле достаточно длинного провода практически не отличается от поля бесконечного провода.

Модель — «отрезок провода, обтекаемый током», также нереальна, так как токи протекают по замкнутым контурам. Однако в некоторых случаях, для удобства проведения расчета реальный контур можно разбить на отдельные части, вычислить поле, созданное каждой частью контура, а потом по принципу суперпозиции сложить поля.

При расчете МП сложной системы проводов принцип суперпозиции сводится к тому, что МГ1 от любой части рассчитываемой системы выражается через три составляющие вектора Н: Н_х, Н, Н Далее складываются составляющие по осям координат по всей системе, а результирующий вектор определяется с помощью уравнения

Поля проводников рассчитываются исходя из допущения, что ток сосредоточен на оси провода. Эффект близости не учитывается.

Еще одним принятым допущением является то, что расчет распределения токов по системам проводов не рассматривается, а при необходимости такой расчет проводится методами теории цепей, принятыми при расчете систем электроснабжения.

Последнее обстоятельство, которое необходимо отметить, состоит в том, что априори предполагается, что рассматриваемая область много меньше длины электромагнитной волны и, следовательно, МП является квазистатическим. Это значит, что для его расчета можно использовать все формулы, описывающие МП постоянного тока с учетом фазы.

Для справки укажем, что длина волны при частоте 50 Гц равна 6000 км, а при частоте 400 Гц— 15 км. Следовательно, для помещений, размеры которых не превосходят десятков метров для частоты 400 Гц или сотен метров для частоты 50 Гц, наше допущение оправдано.

Нормирование МП производится по отношению к напряженности или индукции магнитного поля. Учитывая, что оба эти способа нормирования эквивалентны, а формулы для расчета напряженности имеют более простой вид, то дальнейшее изложение ведется только с использованием формул для напряженности магнитного поля.

Соотношение между напряженностью и индукцией МП в воздухе определяется из выражения для индукции

где р₀ = 4я • 10 ⁷ Гн/м — магнитная постоянная.

Отсюда следует, что напряженности, равной 1 А/м, соответствует индукция В = 1,25 • 10 ⁶ = 1,25 мкТл.

В нормативных документах, как правило, используют значения и напряженности МП и индукции.

Напряженность МП бесконечного провода с током / определяется по закону полного тока простейшей формулой:

где г — расстояние от рассматриваемой точки до провода.

Магнитное поле бесконечного провода является плоским. Это значит, что при расположении провода, например, на оси г вектор напряженности магнитного поля имеет составляющие только Н_х и Н_у. Составляющая поля по оси л равна нулю.

Силовые линии бесконечного провода имеют форму окружностей с центром в точке расположения тока. Вектор Н направлен по касательной к силовым линиям по правилу правого винта (правилу буравчика), как это показано на рис. 13.18.

Пусть провод расположен на оси г прямоугольной системы координат, а ток направлен от наблюдателя («от нас») и поэтому он снабжен знаком крестика. Провод расположен в точке с координатами х,,^.

Силовые линии (показаны на рис. 13.18 штриховыми линиями) имеют вид концентрических окружностей.

Составляющие напряженности МП в произвольной точке с координатами х, у рассчитываются по следующим формулам:

Формулы (13.22) отражают тот факт, что вектор напряженности меняет свое направление на силовой линии (при постоянном /•) в соответствии с правилом буравчика. Знак «минус» перед составляющей вектора означает, что она направлена в сторону отрицательных значений.

Рис. 13.18. Магнитное поле бесконечного провода с током

Подчеркнем, что в (13.25) важно сохранять порядок записи координат в скобках: первой должна записываться координата расчетной точки, второй — координата расположения тока. Соблюдая такой порядок записи, мы гарантированно обеспечиваем правильные направления (и знаки) составляющих вектора Я по осям координат. Также следует помнить о направлении тока («от нас» или «к нам»). Для второго случая («к нам») в (13.25) следует изменить знаки в формулах для Н_х и Н_у.

Пример 13.2. Пусть координаты точки, в которой расположен провод, равны Х[ = 3 м, 7, = 3 м.

Найдем составляющие вектора Я в точке с координатами х - О,

• 2 2
• 7=0. Ток равен 56,55 А. Очевидно г = 9 м .

По (13.5) находим Н_х - -3 А/м, Н_у — 3 А/м. Составляющая Н_х направлена в сторону отрицательных значений оси х.

Напомним еще раз, что поле отрезка провода, обтекаемого током, рассматривается только как математическая модель, удобная для расчетов. Физически ясно, что ток должен откуда-то втекать в провод и куда-то вытекать. Однако далеко не всегда целесообразно учитывать при расчетах удаленные отрезки проводов, поскольку это практически не будет отражаться на результатах.

С учетом этих уточнений рассмотрим следующую расчетную модель, приведенную на рис. 13.19.

Итак, ток / протекает по отрезку х₂, X] и направлен в сторону положительных значений оси х.

По закону Био—Савара элементарная составляющая напряженности магнитного поля в расчетной точке А плоскости ху направлена па наблюдателя и равна

Рис. 13.19. К расчету поля отрезка провода, обтекаемого током

Интегрируя по х от X] до х₂ и проводя необходимые упрощения, подучаем формулу для расчета напряженности в точке А:

Вектор Н направлен на наблюдателя, и его направление в общем случае подчиняется правилу буравчика, «ввинчиваемого» по направлению тока. Следовательно, для вычисления его составляющих можно пользоваться формулами (13.25) с учетом того, как расположен отрезок, обтекаемый током.

Используя формулу (13.27), можно легко пояснить, что такое «длинный» или «короткий» провод с током. Если приблизить точку А к проводу так, чтобы она была равноудалена от концов провода, и так, чтобы г « (х₂ - х₍), то, очевидно, cos а! = cos а₂ —» 1. Остается ответить на простой вопрос: а насколько же нужно приблизить точку А к отрезку, чтобы напряженность описывалась формулой (13.25)?

Обозначим через 8 погрешность в процентах, которая получается от замены напряженности поля провода конечной длины на напряженность поля бесконечного провода. Она зависит от соотношения длины отрезка (х₂ —x_t) к расстоянию до провода г. Расчеты по формуле (13.27) дают следующий результат:

	4	6	10	14
6, %..........................	10	5	2	1

Расчет показывает, что «длинным» можно считать провод конечной длины, если его длина примерно на порядок больше расстояния до провода.

Теперь проанализируем общую структуру напряженности поля Я, созданного проводом конечной длины, обтекаемым током / (рис. 13.20). Из приведенных расчетов следует, что напряженность поля быстро убывает при удалении от провода. Можно показать, что для точек, лежащих на оси х, напряженность стремится к нулю.

Рис. 13.20. Распределение напряженности магнитного поля // в окрестности провода конечной длины, обтекаемого током:

Я₂(х) — напряженность, А/м, по линии, удаленной на 0,2 м от оси х; Н$(х) — напряженность на линии, удаленной на 0,5 м; х₁ = 4 м, лг₂ ⁼ 5 м. Ток в проводе равен 1 А

Интересно проследить, как ведет себя напряженность Н при больших расстояниях от отрезка провода. Пусть

Отсюда следует, что напряженность на большом удалении от отрезка провода стремится к

Формулы (13.25) и (13.28) показывают, что при удалении от проводов, обтекаемых током, напряженность магнитного поля убывает или обратно пропорционально расстоянию от провода, или обратно пропорционально квадрату расстояния. Отсюда можно делать первые выводы о том, как ослабить влияние магнитного поля, если это необходимо. Отсюда же следует, что такое «короткий» провод, т.е. провод, напряженность магнитного поля которого убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.

Однофазный провод. Под однофазным понимается провод, состоящий из двух проводников, предназначенных для электропитания однофазных потребителей электроэнергии. К таким проводам относится также стандартный телефонный провод.

В однофазном проводе оба проводника конструктивно объединены в одно целое. В электропроводке низкого (до 1000 В) напряжения сечения проводников в однофазном проводе могут достигать, как правило, нескольких квадратных миллиметров, а радиус проводников — нескольких миллиметров. Расстояние между осями проводников также может составлять несколько миллиметров.

Расчетная модель однофазного проводника представлена на рис. 13.21.

Примем, что в верхнем проводнике ток направлен от наблюдателя, в нижнем — к наблюдателю. Расстояние между осями проводников равно с/. При расчете напряженности магнитного поля будем считать, что ток сосредоточен на осях проводников. Проводник с током, направленным от наблюдателя (верхний), будем считать первым, а нижний — вторым.

Вначале рассмотрим, чему равна напряженность в точке А, лежащей на оси у.

Расстояния от точки А до осей проводников обозначим через Г и г₂.

Из правила буравчика вытекает, что векторы Н и #₂, созданные токами первого и второго проводников, направлены в разные стороны: от первого в сторону положительных значений х, от второго — наоборот, причем обе напряженности направлены строго по оси х.

Рис. 13.21. К расчету напряженности магнитного поля однофазного проводника

При выводе формулы будем считать проводники бесконечными. Поэтому для расчета напряженности Я_/( можно записать

Формула (13.29) является точной при любых расстояниях с/ и г. Если же расстояние до провода много больше расстояния между проводниками /? » то после очевидного упрощения получим

Из (13.26) следует, что напряженность магнитного поля бесконечных проводников может убывать обратно пропорционально квадрату расстояния до них при наличии второго проводника с током обратного направления.

Аналогичным образом выведем формулу для напряженности в точке С. Каждый из проводников создает напряженность, направленную практически по оси у, имея при этом составляющую по оси х, как это следует из формул (13.25). Очевидно, что составляющие напряженности по оси у направлены в разные стороны, а составляющие по оси х от обоих проводников направлены в сторону отрицательных значений х и поэтому складываются. Исходя из выражения для Н_х и учитывая, что

получаем выражение для напряженности в точке С:

Сравнивая формулы (13.30) и (13.31), можно сделать вывод, что при г » с! напряженность Н в точках А и С имеет одно и то же значение, но векторы направлены в этих точках в разные стороны.

Наконец, рассмотрим вывод выражения для напряженности в точке В, в которой радиус г сдвинут относительно оси х на угол а.

Будем считать, что г » г/. В точке В каждый проводник создает напряженность, имеющую составляющие по обеим осям. Поэтому следует выводить формулы отдельно для каждой из составляющих. Согласно (13.29) напишем в общем виде:

Для того чтобы упростить это выражение, распишем более подробно значения г, и г₂:

При упрощении этих выражений не учитывались члены порядка с/²/г². Подставив упрощенные выражения для /-] и г₂ в (13.29), при г » с/ получим

Для составляющих по оси у общее выражение имеет вид

Произведя упрощения с учетом выражений для г₁ и г₂, получаем окончательно

Учитывая, что выражения (13.33) и (13.34) выведены без каких- либо ограничений по значениям угла а, следует признать, что они носят общий характер. Поэтому для любой точки на окружности радиусом /-(рис. 13.22) имеем для однофазного провода

Рис. 13.22. Положение составляющих вектора напряженности магнитного поля в разных точках, расположенных на окружности вокруг однофазного провода

Формулы (13.35) показывают, что вектор напряженности магнитного поля в зависимости от положения расчетной точки относительно провода меняет свое направление в пространстве. Это показано на рис. 13.22 для точек, лежащих на окружности вокруг провода.

Таким образом, мы убедились в том, что напряженность однофазного бесконечного провода убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от него независимо от того, под каким углом к наблюдателю повернут провод. Также очевидно, что поле однофазного провода является плоским и имеет только две составляющие напряженности, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводу.

Пример 13.3. Рассчитаем напряженность однофазного провода, питающего настольную лампу мощностью 100 Вт.

При напряжении 220 В ток в проводе будет равен 0,454 А. Характерные размеры провода составляют с/ * 2 мм, радиус изоляционной оболочки г_т|_п * 4 мм. Напряженность Н = 9,6 А/м. Такое значение напряженности превышает допустимое для жилых помещений. Однако область напряженности магнитного поля, превышающей допустимое значение, очень мала. Для тех же условий па расстоянии 10 см от провода напряженность по формуле (13.24) будет равна 0,014 А/м.

Известно, что для снижения наведенных электромагнитным полем помех, широко применяются провода, называемые «витая пара». В действительности это не что иное, как обычный однофазный провод, но скрученный. Простейшие «модели» скрученного провода представлены на рис. 13.23.

Модели на рис. 13.23 являются, безусловно, предельно упрощенными. Они показывают, что на разных участках провода токи в проводниках направлены противоположно. На этом основании можно предполагать, что результирующее магнитное поле будет меньше, чем поле однофазного невитого провода. Для того чтобы хотя бы приближенно рассчитать поле витого однофазного провода, рассмотрим вначале более простую задачу.

Рис. 13.23. Модели витого однофазного провода:

а, б — витой провод, состоящий из отдельных участков однофазного провода

Рис. 13.24. К расчету магнитного поля витого провода

Витой провод по модели на рис. 13.23, а состоит из отдельных участков однофазного провода. Поэтому первой задачей является учет конечной длины каждого участка. Эта задача рассматривалась выше по отдельным частям. Поле отрезка провода с током описывается формулой (13.27), которая учитывает конечную длину провода. Если мы будем рассматривать поле витого провода на расстояниях от него много больших, чем расстояние между проводниками (г >>с1), то для расчета поля однофазного провода необходимо учесть множитель типа в формулах (13.35).

Для пояснения дальнейших расчетов рассмотрим рис. 13.24, на котором горизонтальная линия изображает витой провод по модели на рис. 13.23, а. Для того чтобы не усложнять чертеж, каждый участок изображен с помощью одной линии.

Для наглядности стрелками показаны направления токов. Расчетная точка находится на линии, перпендикулярной проводу на расстоянии г от него.

Цифры над проводом показывают порядковый номер участка. «Нулевой» участок расположен в середине провода. На всех участках с нечетными номерами направления токов одинаковы. На всех участках с четными номерами направления токов противоположны. Таким образом, имеется полная симметрия относительно середины нулевого участка.

Углы, под которыми виден каждый участок из расчетной точки, обозначены а и р с соответствующими индексами.

Длина витого провода принята бесконечной.

Так как провод расположен симметрично по отношению к расчетной точке, то можно провести суммирование полей отдельных участков только по половине провода и потом удвоить полученный результат.

Напряженность Я в расчетной точке, созданная нулевым участком, определяется с помощью уравнения:

Для /-го участка с учетом направления тока в нем по отношению к нулевому участку получим

Последнее преобразование вытекает из очевидного соотношения

«,•_! + Р/ ^{= п}-

Обозначим длину каждого участка через а. Тогда все косинусы в предыдущих формулах можно записать в явном виде:

Очевидно, что выражение (13.37) можно преобразовать, если вынести из-под знака корня расстояние г до провода. Тогда получим

где z - air.

Суммируем напряженности поля, созданные отдельными участками от 0 до и, и при этом сумму от 1 до п умножаем на 2 для того, чтобы учесть влияние тех участков, которые лежат слева от нулевого участка. Это приводит к выражению

Анализ формулы (13.38) показывает, что выражение в фигурных скобках при а!г —> 0 не превышает 0,5.

Следовательно, для точки, удаленной от витого провода на расстояние много большее, чем шаг скрутки, напряженность магнитного поля можно записать как

Безусловно, рассмотренная модель весьма груба. Однако она позволяет с помощью достаточно простых формул продемонстрировать, что показатель степени, в которой убывает напряженность поля витого провода при удалении от пего, становится равным 3, т.е. напряженность убывает обратно пропорционально кубу расстояния.

При построении более точной модели следует учитывать поворот каждого участка витого провода не на 180°, а на другой, малый, угол. Но при этом весь шаг скрутки, равный 2а, нужно разбивать на более мелкие интервалы и учитывать это до умножения на соответствующую тригонометрическую функцию типа тех, которые имеют место в (13.35). Но, тем не менее, каждый член соответствующей суммы следует записать как произведение вида — /(/), где /(;') — функция,

учитывающая поворот элементарного участка.

Следовательно, показатель степени г, равный 3 в (13.39), сохранится независимо от вида рассматриваемой модели.

Витой провод является периодической структурой. Поэтому его поле также должно носить периодический характер. Это утверждение можно подтвердить на простейшем примере, приведенном на рис. 13.25.

В этом примере показана модель витого бесконечного провода, расположенного симметрично расчетной точке. Из рисунка следует, что поле, созданное любым участком, будет полностью скомпенсировано полем другого участка, расположенного симметрично, так как токи этих участков направлены противоположно. Следовательно, при таком расположении расчетной точки напряженность Я в ней будет равна нулю. Поэтому формулы (13.38), (13.39) дают максимальное значение напряженности магнитного поля.

Рассмотрим трехфазный кабель (независимо от класса напряжения) как три бесконечных провода с одинаковыми по значению токами, сдвинутыми по фазе на 120°. Хотя реальные кабели имеют скрутку жил с довольно большим шагом (в отдельных случаях порядка метра), мы не будем ее учитывать.

Для кабелей, как электротехнических изделий, характерно то, что изоляция жил по толщине соизмерима с сечением жил. Следовательно, жилы кабеля расположены достаточно близко друг к другу.

Расчетная модель трехфазного кабеля приведена на рис. 13.26.

Ясно, что напряженность Я над кабелем максимальна, когда в верхней жиле трехфазного кабеля (см. рис. 13.26) ток максимален, а в двух других — имеет обратную фазу (направлен в другую сторону) и равен половине максимального тока (для симметричной

Рис. 13.25. Пример расположения расчетной точки, в которой напряженность // равна нулю

Рис. 13.26. Расчетная модель трехфазного кабеля:

а — исходная трехфазная модель; б — эквивалентная однофазная модель

трехфазной системы токов). Поэтому трехфазную модель можно заменить эквивалентной ей однофазной моделью, которая приведена па рис. 13.26, б. Если в трехфазной модели расстояние между осями фазных проводников равно с/, то в однофазной оно равно

Для расчета магнитного поля полученной эквивалентной модели трехфазного кабеля можно применить формулу (13.31). С учетом (13.40) в окончательном виде получим

Формула справедлива при расстояниях г до кабеля много больших, чем расстояние между осями жил с/ « г. Знак приближенного равенства отражает тот факт, что расстояние между жилами кабеля после прокладки (после его сматывания на барабан и разматывания) может не соответствовать данным изготовителя.

Магнитное поле, образованное токами в проводах воздушной линии, рассчитывается по принципу суперпозиции как поле отдельных бесконечных проводов с учетом сдвига токов по фазе. Имеются два вопроса, которые следует обсудить, прежде чем писать расчетные формулы.

Обычно даже для линий низкого напряжения, например 380 В, провода в пролете имеют заметный провис. А у линий высокого напряжения стрела провиса даже больше минимального расстояния до земли (минимальное расстояние проводов ВЛ до земли называется габаритом линии). Поэтому модель с горизонтальными проводами является приближенной. Даже если бы провис проводов был много меньше габарита линии, то и в этом случае рассчитанные значения напряженности магнитного поля были бы приближенными, так как определить точно высоту провода довольно сложно.

Второй вопрос связан с влиянием токов в земле. Магнитное поле ВЛ создает в земле индуцированные токи, протекающие вдоль трассы ВЛ. Плотность этих токов непостоянна в различных точках поля ВЛ. В общем случае задача расчета токов в земле под проводами ВЛ решена для случая однородной земли или для моделей земли с заданной структурой (например, для случая, когда земля «моделируется» горизонтальными слоями с известным удельным сопротивлением грунта).

Распределение тока в земле описывается весьма сложным образом. С учетом того что реальная земля практически всегда отличается от модели, следует считать известные расчетные формулы для тока в земле приближенными. При всей их приближенности расчеты показывают, что магнитное поле, образованное токами в земле, на поверхности земли мало по сравнению с полем, образованным токами в проводах.

Простейшая модель, позволяющая оценить влияние токов в земле, показана на рис. 13.27. В этой простейшей модели ВЛ условно изображена одним проводом с током /, а «обратный» провод, создающий поле, приближенно равное полю токов в земле, расположен на глубине Н + а. Постоянная а выражается как

где р — удельное сопротивление грунта, Ом • м; р₀ — магнитная постоянная, Гн/м; со — угловая частота, 1/с; 5 — глубина скии-слоя, м.

При частоте 50 Гц минимальная реальная (при р = 50 Ом • м) глубина скин-слоя составляет 503 м, постоянная а - 709 м. При увеличении удельного сопротивления грунта глубина скин-слоя, а следовательно, и параметра а увеличивается. Максимальный габарит ВЛ высших классов напряжения редко

Рис. 13.27. Простейшая модель для учета поля токов в земле превышает 20 м. Отсюда следует, что напряженность магнитного поля на поверхности земли от токов в земле будет меньше, чем от тока в проводе в 20/709 = 0,028 или примерно в 36 раз. Знание напряженности магнитного поля необходимо для оценки воздействия магнитного поля на организм человека.

При измерениях магнитного поля погрешность 10% считается вполне удовлетворительной. Если же не учитывать поле от токов в земле, то погрешность не будет превышать 3 %. По этим причинам поле, созданное токами в земле, обычно не учитывается в задачах экологии.

С учетом приведенных выше доводов будем рассматривать расчетную модель трехфазной ВЛ с горизонтальным расположением фазных проводов (рис. 13.28). Однако расчетные формулы, приведенные ниже, могут быть применены для расчета ВЛ с любым другим расположением проводов.

Расчетная точка (точка, в которой рассчитывается напряженность магнитного поля) имеет координаты х, у. Применяя формулы (13.25) для каждого провода, запишем выражения для составляющих вектора Н ПО ОСЯМ X и у.

В (13.42) фазные токи /], /₂, /₃ — функции времени:

Рис. 13.28. Расчетная модель трехфазной ВЛ

При расчете распределения напряженности магнитного поля следует учитывать тот факт, что в разных расчетных точках наибольшие значения напряженности имеют место в разные моменты периода рабочей частоты. Поэтому расчет по (13.42), (13.43) следует проводить по всему периоду (например, с шагом порядка 1/50 периода) и принимать наибольшие значения.

Следует также заметить, что расчет МП трехфазной ВЛ аналогичен расчету ЭП, за исключением того, что приходится пользоваться другими формулами. Аналогия продолжается и в том, что МП трехфазной ВЛ также поляризовано, а вектор напряженности описывает эллипс в пространстве.

Формулы (13.42) записаны в самом общем виде. Поэтому при изменении расположения проводов ВЛ в пространстве они остаются справедливыми.

На рис. 13.29 в качестве примера представлено распределение напряженности магнитного поля под проводами ВЛ.

Режим работы ВЛ может быть несимметричным. Например, на практике ВЛ может работать и в неполнофазном режиме, когда ток в одной фазе равен нулю. Тогда для расчета магнитного поля следует вместо токов, определенных по выражениям (13.43), написать именно те токи с соответствующими сдвигами по фазе, которые имеют место в реальности.

Рис. 13.29. Пример распределения напряженности магнитного поля под проводами ВЛ. Расчет проведен для высоты 1,8 м над уровнем земли. Фазы расположены на одной высоте (10 м), расстояние между фазами 8 м. Ток в фазах 1000 А, режим симметричный. Отметка 16 м находится под средней фазой