ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПРИ РАСЧЕТЕ НАДЕЖНОСТИ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ, ОСНОВАННОМ НА СОСТАВЛЕНИИ ГРАФА ПЕРЕХОДОВ СИСТЕМЫ ИЗ ОДНОГО СОСТОЯНИЯ В ДРУГОЕ

Изучение вероятностных процессов занимает большое место в анализе и обеспечении надежности сложных объектов, так как их функционирование представляет собой реализацию вероятностных процессов. Вероятностным (или случайным) процессом называется случайная функция, аргументом которой является время. Чтобы охарактеризовать вероятностный процесс, необходимо указать тип процесса и его числовые характеристики. Существует большое число различных типов вероятностных процессов. Поскольку функционирование сложных объектов, как правило, сопровождается простейшими потоками отказов и восстановлений (простейшим называется поток, обладающий свойством ординарности, стационарности и отсутствием последействия), наиболее подходящим для описания таких процессов является марковский процесс. Кроме того, время работы до отказа и время восстановления имеют экспоненциальное распределение.

Марковский процесс — это процесс, у которого для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящий момент времени и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Характеристику процесса удобно сопровождать графическим изображением (графом состояний и переходов). С его помощью изображаются процессы перехода системы из одного состояния в другое в случайные моменты времени. Граф переходов может быть представлен либо матрицей переходов, либо системой уравнений.

Задача 30. Провести расчет надежности объекта, если он может находиться в двух состояниях: работоспособном и отказа. Интенсивность перехода в состояние отказа равна X, в работоспособное — р.

Решение.

  • 1. Составим граф переходов, как показано на рис. 7.33.
  • 2. Запишем систему дифференциальных уравнений:
Граф переходов

Рис. 7.33 Граф переходов

3. Произведем переход к изображениям Лапласа (табл. 7.2) и определим РДг):

Вероятности РД/) определялись из начальных условий: в момент включения все элементы исправны, т. е.

Для приведения выражения Р0(г) к табличному умножим и разделим правую часть на постоянную величину, равную (А. + р).

В результате получим

Таблица 7.2

Переход от функции оригинала к функции изображения

№ п/п

Оригинал

Изображение

1

/'’(в) = |ехр(-$0/(0<^

0

2

в/"'/«)

3

/'"40

4

0

5

А

А1$

6

<8Ш(о?)

2за/(в2 + а2)2

7

гсов(аО

-(а2 - вЩв2 + а2)2

8

эЬ/оО

а!(в'1 - а2)

9

сЫа1)

в/^2 - а2)

10

вт аХ

а/(в2 + о2)

11

СОЭСД

з/(52 + а2)

12

ехр(-аО,чт(аг)

а/[(ь' + а)2+ а2]

13

ехр(-орсо.ч(о?)

(в + а)/[(я + о)2+ о2]

14

Vх

Мз"*'

15

(ехр(-а0

1/(в + а)2

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >