Коэффициент корреляции рангов
Наряду с коэффициентом Фехнера используют коэффициент корреляции рангов английского статистика Спирмена, который впервые ввел такой показатель в конце XIX в. при исследованиях в области психологии. Коэффициент корреляции рангов основан не на изучении зависимости самих переменных величин, а только их рангов.
Ранг — это порядковый номер, который присваивается каждому индивидуальному значению признака хи у отдельно после их упорядочения по возрастанию (или убыванию). В этом случае обе переменные величины принимают значения, соответствующие натуральным числам 1, 2, 3, ..., п.
Вернемся к нашему примеру (см. табл. 7.1) и оценим связь переменных х и у, состоящих из п = 10 наблюдений. Расположим эти наблюдения по мере убывания значений факторного признака х(. (табл. 7.2).
Таблица 7.2
Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции рангов
|
Х1 |
У, |
Ранги |
Разность рангов <1= Ъ-ы, | ||
|
К |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
800 |
2700 |
1 |
5 |
-4 |
16 |
|
600 |
9000 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
300 |
4000 |
3 |
3 |
0 |
0 |
|
200 |
6000 |
4 |
2 |
2 |
4 |
|
150 |
1200 |
5 |
7 |
-2 |
4 |
|
130 |
2000 |
6 |
6 |
0 |
0 |
|
85 |
900 |
7 |
8 |
-1 |
1 |
|
70 |
2900 |
8 |
4 |
4 |
16 |
|
45 |
800 |
9 |
9 |
0 |
0 |
|
20 |
500 |
10 |
10 |
0 |
0 |
|
п = 10 |
42 |
||||
Ранги признаков х. и у(. обозначают символами Nx и N. В тех случаях, когда значения х( или у(- повторяются, то каждому из них присваивается ранг, равный частному от деления суммы рангов на число повторяющихся значений. Например, если после значения признака, которому присвоен ранг 4, следуют по возрастанию три одинаковых значения, занимающие 5-е, 6-е, 7-е места, то им всем присваивается ранг 6, так как (5 + 6 + 7): 3 = 6.
Коэффициент корреляции рангов определяется по формуле Спирмена:
где с1 — разность рангов хну;
п — число наблюдаемых пар значений х и у.
Если ранги рядов по абсолютной величине полностью совпадают друг с другом, то Nx = N и Id2 = 0, при этом R = 1, что свидетельствует о функциональной зависимости между переменными х и у.
Если же величины хи у изменяются совершенно независимо одна от другой, то R = 0. Таким образом, коэффициент корреляции рангов Спирмена, как и коэффициент Фехнера, может принимать значения от 0 до 1. Однако следует иметь в виду, что коэффициент Спирмена учитывает только разность рангов, а не сами значения наблюдаемых величин х и у, следовательно, математически некорректно утверждать, что значения R = ± 1 свидетельствуют о наличии функциональной связи, а при R = 0 связь между переменными х и у отсутствует.
Вычислим коэффициент корреляции рангов Спирмена для нашего примера (см. табл. 7.2). Воспользуемся формулой (7.4):
Полученное значение коэффициента корреляции рангов Спирмена (R = 0,75) подтверждает наличие значительной связи между переменными х и у.
В Excel вычисления будут выглядеть так, как показано на рис. 7.3.
Формулы для расчета представлены на рис. 7.4 (с. 241).
