3.9. КОЛЕБАНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ АТОМОВ

3.9.1 ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ

Если отвлечься от квантовых эффектов, то при нулевой температуре атомы покоятся в местах, занимаемых ими в кристаллической решетке. При повышении температуры появляются колебания атомов около равновесных положений. Рассмотрим простейший случай [163]. Пусть имеем одномерную бесконечную цепочку, состоящую из атомов одинаковой массы М и связанными друг с другом силами с упругой постоянной Р (рис. 3.57). Если

Рис. 3.57 Схематическое изображение цепочки атомов:

а — из атомов одинаковой массы М; б — из атомов массой М! и М2.

ип есть смещение атомов от среднего положения атома с номером п, то можно написать следующее уравнение движения:

Бесконечная система уравнений может быть решена, если использовать теорему Блоха и искать решение в следующем виде:

где А0 — амплитуда колебаний; а — постоянная решетки; д — волновой вектор; со— частота колебаний. Подставляя в уравнение (3.9.1), после несложных вычислений имеем:

Это дисперсионная зависимость частоты колебаний от волнового числа. При малых значениях д имеется линейная зависимость — со - д. На границе зоны Бриллюэна (ц = п/а) частота колебаний обратно пропорциональна М.

Более сложная ситуация в случае цепочки, в состав ячейки которой входят атомы с массами Мх (нечетные номера атомов) и М2 (рис. 3.576), причем положим, что Мх > М2. Будем считать, что атомы расположены на равных расстояниях а друг от друга. Поэтому длина ячейки равна 2а, а на границе зоны Бриллюэна д = п/(2а). Действуя так же, как в предыдущем случае, получаем следующую систему уравнений:

Решение ищем в виде:

где д может быть только реальным числом, поскольку в противном случае смещение где-либо принимало бесконечно большие значения. Подставляя смещение в таком виде, получим два альтернативных выражения для отношения Ах2:

Уравнение может быть решено, что позволяет получить дисперсионную зависимость

Из полученного выражения следует, что имеются две ветви. Низкочастотная располагается в интервале акустическая ветвь. Высокочастотная имеет частоты в промежутке от

оптическая ветвь. Имеется запрещенный участок (рис. 3.58).

Рис. 3.58

Дисперсионные зависимости со от волнового вектора q для двухатомной цепочки с массой атомов М2 = 0,5м!; со., соответствует поверхностным колебаниям [155]

Рассмотрим теперь полубесконечную цепочку, причем положим, что на поверхности находится более легкий атом. Допустим, что обрыв решетки влияет только на движение 0-атома (с массой М2), находящегося на конце. Система уравнений (3.9.4) для атомов с п > 0 сохраняется. Изменяется лишь уравнение для нулевого атома:

Используя (3.9.5), получаем:

Если воспользоваться правым соотношением в (3.9.6), то имеем:

Уравнение (3.9.10) устанавливает связь между ехр(ща) и оэ. Ясно, что при реальных значениях волнового вектора q решение этого уравнения отсутствует. Однако в случае ограниченной цепочки атомов допустимо комплексное значение для q. Необходимым условием при этом является требование вещественности величины со. После преобразований имеем:

Такого же характера выражение можно получить при использовании левой части выражения (3.9.6):

Исключая экспоненту, получаем уравнение для со2:

Решение со2 = 0 не представляет интереса. Оно соответствует случаю q = 0, т. е. и = const — однородное смещение решетки. Второе решение соответствует частоте:

Таким образом, в случае конечной цепочки атомов получаем разрешенное значение для со, которое находится в запрещенной полосе колебаний

ТС

(рис. 3.58). Чтобы установить, чему оно соответствует, положим q= + и подставим в (3.9.6). Используя решение cos (3.9.14), получаем в итоге:

Если воспользоваться (3.9.5), то для смещений атомов получаем следующие выражения:

и

Из них следует, что величина смещения максимальна на поверхности и экспоненциально убывает с удалением от нее. Такую колебательную моду называют поверхностной. Приведенный расчет был выполнен для случая, когда на конце цепочки расположен легкий атом. Если повторить вычисления для случая, когда на конце располагается тяжелый атом, то можно убедиться, что поверхностная мода отсутствует.

Рис. 3.59

Отражение акустической волны от поверхности:

а — падает поперечная волна с «-поляризацией; б — поперечная волна с р-поля- ризацией.

До сих пор рассматривалось распространение колебаний вдоль одномерной цепочки. Реально, имеем дело с трехмерным кристаллом, в котором колебания могут распространяться по любым направлениям. Пусть волна, описывающая колебания атомов, падает на поверхность под некоторым углом 0. Волновой вектор <7 и нормаль к поверхности определяют плоскость падения. На рисунке 3.59 ей соответствует плоскость хг. Предположим, что смещение атомов происходит в направлении у. Это так называемые в-поля- ризованные колебания, которые могут быть описаны следующим образом:

где

Граничные условия на поверхности можно записать в следующем виде:

где а22, аХ2, ауг — компоненты нормальных и касательных напряжений на граничной площадке с нормалью, направленной вдоль оси г. При таких условиях можно получить решение, полагая, что волна распространяется в упругой однородной среде. Отраженная от поверхности волна может быть записана следующим образом:

Угол падения равен углу отражения, а амплитуда сохраняет свое значение.

Более сложная ситуация имеет место при падении на поверхность волны с р-поляризованными поперечными колебаниями (рис. 3.596). Удовлетворить граничным условиям удается только в том случае, если допустить, что наряду с зеркально отраженной волной возникает продольная волна, распространяющаяся под большим углом 0^:

где

Величина 0^ может быть определена из соотношения

где иь и ит — скорость распространения продольной и поперечной волны соответственно. Поскольку > ^2ит [29], имеется критический угол 0кр,

для которого выполняется соотношение . При 0 > 0кр величина

<0. Если положить то вместо (3.9.21) имеем:

Волна распространяется вдоль поверхности с амплитудой, экспоненциально затухающей с расстоянием от поверхности. Она сопровождает отраженную поперечную волну. Такую комбинацию называют псевдоповерхно- стнои волной.

Наряду с этими колебаниями в упругом континууме возможно наличие волн, распространяющихся вдоль поверхности и также затухающих с глубиной. Это так называемые волны Релея. В плоской релеевской волне в изотропном упругом полупространстве имеются две компоненты смещения — вдоль направления распространения волны (ось х) и перпендикулярно поверхности (ось г). Движение частиц в релеевской волне происходит по эллипсам, большая полуось которых перпендикулярна поверхности, а малая — параллельна направлению распространения волны (рис. 3.60). Величина смещения элементов упругой среды (в данном случае не рассматривается атомарное строение твердого тела) экспоненциально уменьшается по мере удаления от поверхности. Толщина слоя локализации волны составля-

Рис. 3.60

Схематическое изображение волны Релея, распространяющейся в направлении оси вдоль поверхности; их, иг — компоненты колебательного смещения частиц среды; эллипс — траектория их движения

Рис. 3.61

Дисперсионная зависимость для волны Релея ет от л до 2л., где л — длина волны. На глубине л плотность энергии в волне * 0,05 плотности у поверхности. Эксцентриситет эллипсов зависит от расстояния до поверхности и от коэффициента Пуассона V упругой среды. (Коэффициент Пуассона — величина отношения относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению.) Скорость распространения релеевской волны может быть записана в виде ин = ^ит, где величина ^ заключена в пределах от 0,86 до 0,96 и зависит от коэффициента Пуассона. Частота колебаний, соответственно, со = ^итд. На рисунке 3.61 приведена дисперсионная зависимость для волн Релея. Для нее частота имеет наименьшее значение из всех возможных. Выше располагается область, занимаемая поперечными колебаниями, еще выше — как поперечными, так и продольными.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >