Стьюдента ?-критерий значимости различий

Критерии значгммости различий предполагают проверку гипотез о численных значениях известного закона распределения. Например, гипотезы о равенстве средних значений Но : Е(Х) = Е(У) или гипотезы о равенстве дисперсий Но : D(X) = D(V).

Исторически ?-критерий Стьюдента получил свое название в связи с работой Уильяма Госсета, опубликованной в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student». В настоящее время, под ?- критерием Стьюдента понимаются любые тесты, в которых статистика критерия имеет распределение Стьюдента.

Наиболее часто ?-критерии применяются для проверки нулевой гипотезы о равенстве средних значений в двух выборках. Все разновидности критерия Стьюдента основаны на предположении о нормальности выборочных данных. Поэтому перед применением критерия Стьюдента необходимо проверить соответствующую гипотезу с помощью одного из критериев согласия.

Одновыборочный ?-критерий

Гипотезы: Проверяется нулевая гипотеза Но : Е(Х) = а против альтернативных Н: а) Е(Х) ф а, б) Е(ЛГ) < а, в) Е(Х) > а, где Е(ЛГ) — математическое ожидание случайной величины Х а—заданное постоянное значение.

Статистика: При проверке нулевой гипотезы используется статистика, которая имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы п — 1

где ж —выборочное среднее значение; — исправленная выборочная дисперсия.

Критерий: Если наблюдаемое значение статистики Т₅:

• а) по модулю превосходит ^-квантиль распределения Стью- дента с числом степеней свободы п - 1: |Т₅| >
• б) меньше а-квантиля распределения Стьюдента с числом степеней свободы п - 1: Т_$ <
• в) больше (1 - а)-квантиля распределения Стьюдента с числом степеней свободы п — 1: Т_$ > ?1—ог.п.—1» то нулевая гипотеза Яо : Е(.Х') = а на уровне значимости а отвергается в пользу альтернативных Н а) Е(Х) ф а; б) Е(Х) < а; в) Е(.Х') > а.

В противном случае говорят, что нулевая гипотеза на уровне значимости а согласуется с выборочными данными.

Пример 3.6. Для реализации выборки, использованной в примере

3.1, проанализировать с помощью одновыборочного критерия Стьюдента зависимости для достигаемого уровня значимости а_р от значения параметра а € х — ^-,х+ Ц-] для нулевой гипотезы Но : Е(Х) = а при альтернативных Н. а) Е(.Х') ф а, б) Е(Я) < а, в) Е(Я) > а.

Назначение команд в строках | i—з | соответствуют ранее указанным в примере 3.1. В строках 14—71 вначале находится вектор значений а, а затем с помощью композиции «sapply(.. .t.testO)» по ?-критерию Стьюдента для каждого значения а вычисляют достигаемые уровни значимости а_р к различным альтернативным гипотезам Hi (а-в).

В 0 выполняется построение кривых а_р(а) для основной гипотезы Щ: Е(Х) = = а при альтернативных гипотезах Н: Е(Х) / а, Е(Х) < а и Е(Х) > а. Указанные кривые изображаются на графике с параметром «]Лу=с(1,2,4)» с помощью сплошной, штриховой и штрихпунк- тирной линий.

Рис. ЗЛО. Зависимости достигаемого уровня значимости а_р(а) для гипотезы Но: Е(Х) = а при различных гипотезах Я i

В строке [|] с помощью функции «аЬПпеО» отмечается пятипроцентный уровень значимости, позволяющий приближённо оценить размеры доверительных интервалов для а к каждой из альтернативных гипотез #! (а-в).

Двухвыборочный ?-критерий для независимых выборок

Для применения данного критерия помимо предположения о нормальности выборочных данных, также необходимо соблюдение условия равенства дисперсий: О(Х) = О (У).

Задача сравнения средних двух нормально распределённых выборок при неизвестных и неравных дисперсиях известна как проблема Беренса-Фишера. Точного решения этой задачи к настоящему времени не существует, но на практике получили распространение различные приближенные методы.

Гипотезы: Проверяется нулевая гипотеза Н₀ : Е(Х) = Е(У) против альтернативных #1: а) Е(Х) ф Е(У), б) Е(Х) < Е(У), в) Е(Х) > Е(У), где Е(Х), Е(У) — математическое ожидание случайных величин X и У.

Статистика: При проверке нулевой гипотезы используется статистика, которая имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы т + п — 2:

где х, у—выборочные средние значения; т, п—объёмы выборок {ж^}_т и {У]}_п', 51, ву — исправленные выборочные дисперсии.

Критерий: Если наблюдаемое значение статистики T_s:

• а) по модулю превосходит j-квантиль распределения Стью- дента с числом степеней свободы т + п — 2: |T_S| > t=_tm+n-2;
• б) меньше а-квантиля распределения Стьюдента с числом степеней свободы т + п - 2: T_s < i_Q,_m+re_2;
• в) больше (1 -а)-квантиля распределения Стьюдента с числом степеней свободы п - 1: T_s > ii-a,_m+n-2> то нулевая гипотеза Но : Е(Х) = Е(У) на уровне значимости а отвергается в пользу альтернативных Н а) Е(Х) ф Е(У), б) Е(ЛГ) < Е(У), в) Е(Х) > Е(У).

В противном случае говорят, что нулевая гипотеза на уровне значимости а согласуется с выборочными данными.

Пример 3.7. Для чётных и нечётных элементов выборки, использованной в примере 3.6: {т,}_га = {uj}_m U-fv*,};, гдеп = т 4-1 — объёмы полной и частичных выборок, с помощью двухвыборочного ?-критерия Стьюдента на уровне значимости а = 0,05 проверить нулевую гипотезу Но : Е(U) = E(V) при альтернативных Я_х: а) Е(17) ф Е(У), б) Е[U) < Е(У), в) Щи) > Е(У).

В строке Ц] вычисляются частичные выборочные векторы, содержащие чётные и нечётные элементы выборки {т_г}„ = {uj}_m U •

Функция «t. test()» в строках [и], |~2Г| и [зТ] по двухвыборочному i-критерию Стьюдента вычисляет достигаемый уровень значимости для нулевой гипотезы Но : Е(U) = Е(У) при альтернативных Н а) Щи) ф Е(У), б) ЩИ) < Е(У), в) E(t7) > Е(У).

В строках [м], [Ц] и ?34] показаны достигаемые уровни значимости для соответствующих пар нулевой и альтернативных гипотез: а) а_р ss sa 0,28, б) а_р S3 0,14, в) а_р ss 0,86. Сравнение достигаемых уровней а_р с заданным а = 0,05 позволяет для случаев (а, б) сделать выводы об удовлетворительном, а для случая (в) — о хорошем согласовании нулевой гипотезы Но с выборочными данными.