Нормальное распределение

Нормальное распределение обычно возникает при рассмотрении суммы большого количества независимо распределённых случайных величин с конечной дисперсией. Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение: X ~ Я (а, о), если её плотность вероятности имеет вид:

где х,а € II; сг > 0; <р(г) — функция Гаусса, определяемая равенством

Нормальное распределение полностью определяется параметрами а и а. Функция распределения случайной величины, подчиняющейся нормальному закону X ~ Я (а, <т), имеет вид:

где Ф(г) —функция Лапласа, определяемая равенством

Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины X ~ Я (а, а) вычисляются по формулам:

Свойства нормального распределения:

• 1. Если Y = аХ + /?, где а,/3 € R, a случайная величина X ~ ~ Я(а, а), то случайная величина У ~ Я{аа + /3,ао);
• 2. Если X, ~ Я(а₁,а^, при г = 1,2,... ,п — независимые случайные

величины, то ;

3. Если Xi ~ Я {ai, a?), при i = 1,2,... ,п — зависимые случайные величины, то

Рис. 2.11. Плотность нормального распределения /(х)

Рис. 2.12. Функция нормального распределения F(x)

На рис. 2.11 и 2.12 показаны примеры построения графиков плотности вероятности }{х) и функции распределения Р(х) нормально распределённой случайной величины X ~ Я {а,а) при значениях параметров: а = 0, а = 1,2,... ,5.

Пример 2.6. Продолжая предыдущий пример, построим графики плотности вероятностей /(ж) и функции распределения .Р(ж) для нормально распределённой случайной величины X ~ Я (а, а) при вышеуказанных значениях параметров а и а.