Сведения из теории вероятностей

В данной главе приведён краткий обзор основных понятий теории вероятностей, используемых затем в математической статистике и статистических методах анализа данных. Приводимые примеры демонстрируют использование этих понятий для решения прикладных задач на языке статистической обработки данных и программирования к [И- Излагаемый материал не претендует на полноту и математическую строгость изложения и никоим образом не подменяет основных учебников по освещаемым темам [4-6].

Случайное событие и вероятность

В теории вероятностей понятие события является первичным и не определяется через другие более простые понятия. Для описания событий как результатов испытаний (также называемых опытами или наблюдениями) с неопределённым исходом используется понятие случайности. Под испытанием (или экспериментом) понимают любое наблюдение какого-либо явления, выполненное в заданном комплексе условий с фиксацией результата, которое может быть повторено (хотя бы в принципе) достаточное число раз.

Испытание, исход которого не может быть определён однозначно до проведения эксперимента, принято называть случайным.

Наряду с самим событием А в рассмотрение вводится противоположное к нему событие А, которое заключается в том, что событие А не происходит.

Событие, которое при случайном испытании происходит всегда, называется достоверным и обозначается как П.

Событие, которое никогда не происходит, то есть является противоположным к достоверному, называется невозможным и обозначается как 0.

События А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. Иначе говоря, такие события никогда не происходят одновременно.

Пусть на рассматриваемом множестве событий определены следующие операции'.

  • 1. Сумма событий А + В— событие, состоящее в том, что произойдёт хотя бы одно из событий: А и/или В;
  • 2. Произведение событий АВ — событие, состоящее в том, что произойдут оба события: и А, и В.

Событие эксперимента (испытания) считается элементарным ш, если его нельзя представить через другие события с помощью операций сложения и умножения.

Совокупность всех таких событий ...,сип} образует про

странство элементарных исходов П:

Предполагается, что каждому возможному исходу щ в данном испытании, может быть сопоставлена неотрицательная числовая функция, такая что Р{о^} = рг ? Значения этой функции, выражающие меру возможности осуществления элементарного события шг, называются его вероятностью. При этом имеют место следующие свойства вероятности: Р{с^г} € (0,1), Р{0} = О, Р{П} = 1.

В рамках такого подхода любое событие А, связанное с этим экспериментом, определяется как сумма элементарных исходов, а его вероятность—как сумма вероятностей соответствующих элементарных исходов

Для таких случайных событий справедливы два утверждения, называемых теоремами сложения вероятностей: [1]

  • [1] Если события А и В — несовместны: АВ = 0, то Р {А + В} == Р{Л} + Р{В}; 2. Если же события А и В —совместны: АВ ф 0, то Р -?Д + В} == Р {Л} + Р {В} - Р {АВ}.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >