Теоретический анализ напряжений при осадке

Для теоретического описания силовой картины осадки примем гипотезу плоских сечений. Согласно этой гипотезе деформации неизменны во всех слоях по высоте образца. Следовательно, зоны скольжения, торможения и застоя также простираются на всю высоту. Напряжения по высоте имеют постоянные значения, равные контактным. Выход бокового металла на контактную площадку отсутствует, и она увеличивается во времени одинаково по всей высоте образца. Как видно, гипотеза плоских сечений грубо искажает истинную картину деформации среднего и высокого образца. Однако при правильном задании сил трения на контакте она позволяет рассчитать давление металла на бойки, поскольку давление полностью определяется силами трения. Конечно, речь идет только о средних и низких очагах деформации, гак как при высоких, наоборот, все, в том числе силовые, параметры определяются характером распределения деформации по объему. На высоких образцах гипотеза плоских сечений неприменима даже для описания силовой картины.

Рассмотрим в такой постановке задачу об осадке параллелепипеда, имеющего высоту h, ширину b и очень большую длину /. При большой длине можно выделить в этом направлении среднюю часть образца, равную 1, и считать, что в ней в направлении длины деформации равны 0, металл находится в условиях плоской деформации. Для описания напряжений достаточно рассмотреть одну плоскость образца с размерами hub.

Выделим элемент hdx (рис. 2.16) протяженностью dx и спроектируем на ось х все силы, действующие на элемент. Получим уравнение равновесия сил

После упрощений

Условие пластического течения имеет вид

К этим уравнениям следует добавить условие трения т_к = /(о,.) отдельно для зоны скольжения, торможения и застоя.

Зона скольжения. Продифференцируем условие пластичности, получим

Подставим это выражение, а также закон трения т_к = ро,, в уравнение равновесия:

После интегрирования получаем

Рис. 2.16. Равновесие сил при осадке

При х = Ь/2 о_г = 0 (на боковой поверхности) и по условию пластичности o_v = — К, поэтому находим постоянную интегрирования С:

Таким образом, в зоне скольжения

Нормальные напряжения изменяются по экспоненциальному закону, как и на экспериментальных эпюрах (см. рис. 2.12 и 2.13).

Зона торможения.

Так как в выделенном элементе силы трения направлены в отрицательном направлении оси х, то подставим в уравнение равновесия закон трения в виде

Получим . Отсюда . В точке х =х_с на границе зон скольжения и торможения (см. рис. 2.12) должны быть равными нормальные и касательные напряжения. Из равенства нормальных напряжений

находим константу С. Получаем Из равенства касательных напряжений

Подставив (2.2) в (2.1), получаем окончательное выражение: Прологарифмируем равенство (2.2):

Обозначив функцию от р как , получим выражение для определения

искомой координаты х_с:

В зоне торможения нормальное давление на бойки нарастает по линейному закону (как и на участке торможения экспериментальной эпюры — см. рис. 2.12).

Зона застоя.

Подставив в уравнение равновесия(со знаком “минус”), получим

откуда

Константу С находим из условия равенства нормальных напряжений на стыке зон застоя и торможения при х = И/1 (диаметр зоны застоя, как указывалось ранее, примерно равен /г):