Основные закономерности пластической деформации. Условие постоянства объема

Пусть параллелепипед с размерами х, у и г (рис. 1.12) деформируется в направлении главных осей (ребер параллелепипеда) и после деформации имеет размеры (х + с/х), (у + с/у) и (I + <1т).

Если приращения размеров ребер невелики (деформации малые), то их относительную деформацию запишем в виде

Объем параллелепипеда до и после деформации соответственно таков: Раскрывая скобки и отбрасывая произведения малых величин, получим

Относительное изменение объема при деформации

При пластической деформации объем тела не меняется, поэтому условие постоянства объема запишется в виде

Для упругой деформации изменение объема, обозначенное е, не равно 0: При известной связи между напряжениями и деформациями в виде

Рис. 1.12. Деформация параллелепипеда

получим

Обозначим где р — гидростатическое давление, получим

Здесь т — коэффициент Пуассона, определяемый как соотношение объемной и осевой деформаций; при больших деформациях т = 1/2, при малых (и упругих) т — 1/3. Таким образом, при упругой деформации изменение объема определяется гидростатическим давлением.

Условие постоянства объема при пластической деформации (1.2) умножим на объем параллелепипеда У₀ = хуг. Получим

и

Объем ух(к = V, — это смещенный по высоте объем металла, который имеет знак “минус”, так как направлен в сторону уменьшения общего объема У₀. Аналогично второе и третье слагаемые равенства (1.3) представляют собой смещенные объемы в ширину и длину параллелепипеда. Они имеют знак “плюс”. Из условия постоянства объема получаем

Смешенный по высоте объем металла расходуется на приращение ширины и высоты. На рис. 1.13 заштрихованы более удобные для расчетов смещенные площади по высоте = х(к и по ширине Р_ь = 1(!х, которые после умножения на длину образца у будут равны соответствующему смещенному объему.

При больших пластических деформациях относительные показатели е_х, е₂

Рис. 1.13. Смещенные площади по высоте /•, и ширине Р_ь

и с, не обладают свойством аддитивности (не позволяют их поэтапно складывать), поэтому применяются логарифмические показатели деформации ?_р е₂и е₃. Прологарифмируем условие постоянства объема, записанное в виде

получим главное соотношение для логарифмических показателей деформации и их связь с относительными показателями:

Несмотря на то что для больших деформаций применяют и относительные, и логарифмические показатели, следует считать, что для малых деформаций лучше применять относительные, а для больших — логарифмические показатели.

Для больших деформаций параллелепипеда (с учетом знака)

Здесь каждое слагаемое — это также смещенные объемы металла в соответствующем направлении. Объем металла называется высотным смещенным объемом. Соответственно смещенные объемы в направлении осей у и хтаковы:

Удобной характеристикой высотного и поперечного смещенных объемов являются соответствующие смещенные площади Р_/1 и Р_ь, поскольку их легко измерить или вычислить по чертежу (см. рис. 1.13).

Таким образом, для малых и больших деформаций

В обоих случаях отношение

характеризует долю поперечного смещенного объема от высотного смещенного объема. Оно является истинным, или естественным, показателем поперечной деформации (уширения) металла.

Соответственно, остальная доля высотного смещенного объема металла течет в продольном направлении, поэтому показателем продольной деформации (удлинения) может служить выражение

Смещенные объемы металла по всем направлениям являются такими же показателями деформации металла, как логарифмические показатели при больших и относительные показатели при малых деформациях. Но в сложных очаrax деформации, например при прокатке в калибрах, смещенные объемы (точнее, смещенные площади) определяются легче, поэтому применяются чаще.

Рис. 1.14. Смещенные площади при деформации металла в фасонном бойке

Рассмотрим деформацию металла, например, при осадке в калиброванном бойке (рис. 1.14). Штрихами показано поперечное сечение образца до, а сплошными линиями — после осадки. Здесь трудно определить логарифмические показатели деформации, гак как высота И непостоянна по ширине, но смещенные площади по высоте и по ширине можно легко измерить (или вычислить) по чертежу. Показатель уширения А вычисляется непосредственно путем деления заштрихованных площадей F_b на F_h.

Рассмотрим элементарную работу dP, совершаемую бойком на расстоянии dz в направлении оси г (см. рис. 1.12):

где р — среднее давление металла на боек.

Интегрируя приведенное выше выражение в пределах Zq—Z, получим для больших деформаций

Аналогично определяется работа деформации металла по осям х и у. В первом приближении среднее давление р_ср можно приравнять некоторому усредненному по всему объему пределу текучести материала ст_5Ср. Тогда условие постоянства объема можно представить в виде

Работа внешней силы, направленной по оси z, равна сумме работ по двум другим направлениям, т. е. работе внутренних напряжений по перемещению металла в поперечном и продольном направлениях.

На примере осадки мы получили фундаментальный энергетический закон пластической деформации, в соответствие с которым работа внешних сил, действующих на деформируемое тело, равна работе внутренних напряжений. Соотношение между смешенными объемами в продольном и поперечном направлениях будет определяться минимумом работы внутренних напряжений. Анализируя только смещенные объемы, не прибегая непосредственно к энергетическим расчетам, мы получаем практически важные выводы.

Рассмотрим осадку параллелепипеда плоскими бойками в проекции сверху (рис. 1.15). Проведем из углов прямоугольника линии под углом 45° к граням. При отсутствии трения на контакте металлу, находящемуся в зоне /, энергетически выгодно течь в направлении меньшей стороны, а из зоны //— в направлении большей стороны прямоугольника. Конечно, в силу взаимных связей эти зоны не могут самостоятельно перемещаться, поэтому закономерности деформации всего параллелепипеда будут значительно сложнее. Однако, исходя из энергетической предрасположенности, можно считать, что поперечный и продольный смешенные объемы, а также показатели поперечной и продольной деформации будут пропорциональны площадям и зон / и II.

Рис. 1.15. Осадка параллелепипеда

Следствием такого распределения деформаций будет то, что при большой степени осадки параллелепипеда по высоте ширина его будет увеличиваться быстрее, чем длина. Форма параллелепипеда в плане при очень большой степени осадки будет приближаться к кругу (тонкими линиями показана его форма при значительной деформации). Эго известный в теории ОМД закон наименьшего периметра, согласно которому тела любой формы поперечного сечения, но обязательно с выпуклым контуром сечения, при осадке с большим обжатием стремятся принять форму с наименьшим периметром — форму круга.

Соотношение между деформациями можно оценить из выражения (справедливого до конца только при отсутствии трения)

Это самая простая приближенная формула для вычисления логарифмического показателя уширения А. Она учитывает только геометрию очага деформации, но не учитывает трения на поверхности контакта и характера взаимодействия объемов / и II. Если внести в нее соответствующие поправки, то получится формула, вполне пригодная для практического использования. Однако определить эти поправки очень трудно.