Использование основных положений теории игр в практике принятия решений в условиях неопределенности и риска на примере сельскохозяйственного производства

Проблема принятия решений в условиях неопределенности и риска особенно актуальна для сферы сельскохозяйственного производства в областях с традиционно неустойчивыми погодно- климатическими условиями, к которым относятся области Нижнего Повольжья.

В качестве математического аппарата принятия решений в условиях неопределенности и риска используются: теория стратегических игр, теория вероятностей, математическая статистика, теория статистических решений, математическое программирование, теория полезности Неймана-Моргенштерна. Для применения основных положений вышеуказанных теорий к хозяйственной практике в прикладной математике специально выделен раздел «моделирование рисковых ситуаций в «играх» с природой». Несмотря на достаточно хорошо разработанный теоретический аппарат, методологический аспект проблемы в «привязке» к конкретным климатическим зонам и условиям рыбохозяйственного производства нуждается в конкретизации.

Естественно, что «игра» предпринимателя с природой - это стратегическая игра, где в качестве игрока № 1 выступает предприниматель. Отличительная особенность «игры» с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один игрок № 1. Игрок № 2 (природа) сознательно против игрока № 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально. Матрица «игры» с природой аналогична матрице стратегической игры: А = ||я..||, где а.. - выигрыш игрока № 1 при реализации его чистой стратегии / и чистой стратегии у игрока № 2 (/ = 1,...,/и;у= 1,...,«)'.

Мажорирование (выбор доминирующих стратегий) в «игре» с природой имеет определенную специфику: исключить из рассмотрения можно лишь доминируемые стратегии игрока № 1: если для всех / = 1,..., л а < а (к = 1,..., т), то к-ю стратегию игрока № 1 можно не рассматривать и вычеркнуть из матрицы игры.

Столбцы, отвечающие стратегиям природы, исключать из рассмотрения недопустимо, поскольку природа не стремится к выигрышу в «игре» с человеком, для нее нет целенаправленных выигрышных или проигрышных стратегий, она действует несознательно. Методы принятия решений в «играх» с природой зависят от характера неопределенности, точнее от того, известны или нет вероятности состояний (стратегий) природы, т.е. имеет ли место ситуация риска или неопределенности.

Рассмотрим организацию и аналитическое представление «игры» с природой. Пусть игрок № 1 имеет т возможных стратегий: А,, А,,..., А , а у природы имеется п возможных состояний [1]

(стратегий): Пг П,,..., П , тогда условия игры с природой задаются матрицей А выигрышей игрока № 1:

Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком № 1 и объединенных в понятие «природа»).

Возможен и другой способ задания матрицы «игры» с природой: не в виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков или матрицы упущенных возможностей.

Величина риска - это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Матрица II может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей А.

Риском игрока (г..) при использовании им стратегии А и при состоянии среды П будем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он знал, что состояние среды будет П , и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации.

Зная состояние природы (стратегию) П, игрок выбирает ту стратегию, при которой его выигрыш будет максимальным, т.е.

при заданном у. Например, для матрицы

выигрышен

Согласно введенным определениям г., и (3 получаем матрицу рисков

Независимо от вида матрицы «игры» требуется выбрать такую стратегию игрока, которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими. Необходимо отметить, что в «игре» с природой понятие смешанной стратегии игрока не всегда правомерно, поскольку его действия могут быть альтернативными, т.е. выбор одной из стратегий отвергает все другие стратегии.

Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероятностях состояний среды (природы), называют «безнадежной» или «дурной». В таких случаях для определения наилучших решений используются следующие критерии: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа. Применение каждого из перечисленных критериев проиллюстрируем на примере матрицы выигрышей или связанной с ней матрицы рисков.

С помощью критерия максимакса определяется стратегия, максимизирующая максимальные выигрыши для каждого состояния природы. Это критерий крайнего оптимизма. Наилучшим признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш, равный

М = шах шах ап.

Максимальный критерий Вальда. С позиции данного критерия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник типа тех, которые противодействуют в стратегических играх. Выбирается решение, для которого достигается значение

W = max min а,,.

1 5i'5/n jun

Для платежной матрицы А (2.3) нетрудно рассчитать:

  • • для первой стратегии
  • (/ = Hmina, = 1;

|?у?4 '

  • • для второй стратегии
  • (/ = 2) min а,, = 3;

II.JUA '

  • • для третьей стратегии
  • (/ = 3)mina„ = 2.

Тогда

1?/<4 '

W = max min а. = 3,

]<;s3 ]>

что соответствует второй стратегии А, игрока 1.

Согласно критерию Вальда из всех самых неудачных результатов выбирается лучший (IV = 3). Это перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда игрок не столько заинтересован в крупной удаче, сколько хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей. Выбор такой стратегии определяется отношением игрока к риску.

Выбор стратегии по критерию минимаксного риска Сэвиджа аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей А (2.3), а матрицей рисков К (2.4):

Для матрицы И. (2.4) нетрудно рассчитать:

• для первой стратегии

• для второй стратегии

• для третьей стратегии

Минимально возможный из самых крупных рисков, равный 4, достигается при использовании первой стратегии Аг

При выборе решения с помощью критерия пессимизма-оптимизма Гурвица следует руководствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия в матрице А выбирается в соответствии со значением

где р - коэффициент пессимизма (0 < р < 1).

При р - 0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при /7=1 — с критерием Вальда. Покажем процедуру применения данного критерия для матрицы А (2.3) при р = 0,5:

• для первой стратегии

• для второй стратегии

• для третьей стратегии

Тогда

т.е. оптимальной является вторая стратегия А,.

Применительно к матрице рисков Я критерий пессимизма- оптимизма Гурвица имеет вид:

При р - 0 выбор стратегии игрока № 1 осуществляется по условию наименьшего из всех возможных рисков

по критерию минимаксного риска Сэвиджа.

В случае, когда по принятому критерию рекомендуется к использованию несколько стратегий, выбор между ними может осуществляться по дополнительному критерию, например, в расчет могут приниматься средние квадратичные отклонения от средних выигрышей при каждой стратегии.

Типовая схема решения задачи в условиях неопределенности

Заготовка кормов на зимовку скота. Необходимо заготовить сено на зиму для обеспечения зимовки овец в кошарах. Количество хранимого сена ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованное зимой сено пропадет (пойдут весенние дожди, ветер, появится молодая трава и т.д.). Покупать сено можно в любое время, однако летом оно дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать сено, или мягкой, тогда часть сена останется недоиспользованной. Долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при принятии решений.

Данные о потребных количествах и цене сена приведены в табл. 2.4). Вероятность, что зима будет мягкой, составляет 0,35, обычной - 0,5 и холодной - 0,15.

Данные о погребных количествах и цене сена

Таблица 2.4

Вариант зимы

Масса сена, т

Средняя цена сена, тыс. руб./т

Мягкая

4

6,0

Обычная

5

7,5

Холодная

6

8,0

Построим платежную матрицу (табл. 2.5).

Таблица 2.5

Платежная матрица

Вероятность

0,35

0,5

0,15

Вариант зимы

Мягкая

Обычная

Холодная

Мягкая (4 т)

- (4 - 6)

- (4 • 6 + I • 7,5)

-(46 + 2-8)

Обычная (5 т)

-(5-6)

- (5 • 6 + 0 • 7,5)

- (5 • 6 + 1 • 8)

Холодная (6 т)

- (6 - 6)

- (6 • 6 + 0 ? 7,5)

- (6 ? 6 + 0 ? 8)

Расчет ожидаемой средней цены за сено проведем в табл. 2.6.

Таблица 2.6

Расчет ожидаемой средней цены за сено

Вариант зимы

Средняя ожидаемая цена, тыс. руб.

Мягкая

Обычная

Холодная

  • - (24 • 0,35 + 31,5 • 0,5 + 40 • 0,15) = - 30,15
  • - (30 • 0,35 + 30 • 0,5 ч- 38 0,15) = — 31,2
  • - (36 • 0,35 + 36 • 0,5 + 36 • 0,15) = - 36

С учетом вышеприведенных формул средние квадратичные отклонения цены за сено для мягкой, обычной и холодной зимы составят:

• для мягкой зимы а = 5,357;

  • • для обычной зимы а = 2,856;
  • • для холодной зимы 0 = 0.

Минимальный риск, естественно, будет для холодной зимы, однако при этом ожидаемая средняя цена за сено оказывается максимальной - 36 тыс. руб.

Вывод: оптимальным вариантом является покупка сена для обычной зимы, так как по табл. 2.6 ожидаемая средняя цена за сено по сравнению с вариантом для мягкой зимы возрастает на 3,5%, а степень риска почти в 2 раза меньше (а =2,856 против 5,357).

Отношение среднего квадратичного отклонения к математическому ожиданию (средний риск на затрачиваемую 1000 руб.) для обычной зимы составляет 2,856/31,2 = 0,0915 против аналогичного показателя для мягкой зимы, равного 5,357/30,15 = 0,1777, т.е. различие вновь почти в 2 раза.

В терминах формул матриц для описываемых условий можно рекомендовать матрицу, приведенную в табл. 2.7.

Таблица 2.7

Платежная матрица

Вариант зимы

Вероятность варианта зимы

VI

(мягкая)

Уг

(обычная)

Уз

(холодная)

Мягкая (Р0

-(р1«1)

- (р1«| + 1 • а2)

— (Р,а, +2 • рз)

Обычная (р2)

- (Рга,)

-2а, + 1 • а3)

- (Р’а1 + 2 • рз)

Холодная (Рз)

- (Рз«,)

- (р3а, + 1 • а3)

- (Рза1 + 2 • рз)

Здесь вероятность того, что зима будет мягкой (у0, обычной (у2) или холодной (уз);

р! - масса закупленного на зиму сена, т;

СЦ - цена 1 т сена летом, тыс. руб.;

а, ] - цена 1 т закупленного на зиму сена, тыс. руб.

  • [1] См.: Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение: Пер. с англ. - М.: Наука, 1976.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >