Биномиальное распределение

В системах электроснабжения для нормального функционирования, повышения их надежности и создания оптимального резерва стремятся по возможности использовать однотипное оборудование (выключатели, трансформаторы, приводы и т.п.)

Это оборудование может находиться в одном из исключающих друг друга состояниях (исправно или неисправно, включено или выключено и т.д.).

Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появится с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится ровно т раз, выражается формулой

где с{ = 1 -р.

Рис. 3.5. Схема подключения электродвигателей

Формула (3.27) является аналитическим выражением одного из законов распределения вероятностей и носит название формулы Бернулли.

В качестве иллюстрации применения формулы (3.27) при определении закона распределения вероятностей различных состояний элементов рассмотрим схему (рис. 3.5). На схеме изображены п = 4 одинаковых электродвигателя, подключенных к распределительному пункту РП. По технологическим условиям каждый двигатель может быть или включен с вероятностью р - 0,4, или выключен с вероятностью q = 0,6 [6].

Данная система может находиться в пяти возможных состояниях. Перечислим эти состояния и обозначим соответствующие им вероятности:

- ни один двигатель не работает — вероятность такого состояния

р0 .

• - один двигатель работает, а три нет; вероятность состояния Р₄ ;
• - два двигателя работают, а два нет; вероятность состояния Р₄ ;
• - три двигателя работают, а один нет; вероятность состояния Р₄ ;
• - все двигатели включены и работают; вероятность состояния Р₄ . Вычислим вероятности этих состояний (событий):

где т.е. равновероятно для всех двигателей;

Рис. 3.6. Распределение вероятностей состояний системы

Графически распределение вероятностей возможных состояний системы из четырех двигателей будет иметь вид, представленный па рис. 3.6. Так как эти состояния образуют полную группу событий, то их суммарная вероятность равна 1, т.е.

В выражении (3.28) коэффициенты есть коэффициенты разложения бинома , члены разложения которого

представляют собой вероятности Р"’. Поэтому распределение вероятностей вида (3.27) называется биномиальным распределением.

Начальный момент первого порядка (математическое ожидание) биномиального распределения т = пр.

Центральный момент второго порядка (дисперсия): Ц2 ⁼ О ⁼ пру-

Приведем некоторые частные вероятности, облегчающие решение практических задач:

• вероятность того, что все элементы выключены (повреждены):

• вероятность того, что в рассматриваемой группе работают от пц до Ш2 элементов:

Например, для нашего случая вероятность того, что включены от одного до трех электродвигателей:

• вероятность того, что работает (включен) хотя бы один элемент:

• вероятность того, что работает не более, например, двух элементов:

Пример 3.5 [6]. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р - 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение любых 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q--p= - 0,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли: