Распределение Вейбулла

Это распределение чаще всего используется при исследовании интенсивности отказов для периодов приработки и старения. На примере распределения сроков службы изоляции некоторых элементов электрической сети [8, 9] подробно рассмотрены физические процессы, приводящие к старению и отказу изоляции и описываемые распределением Вейбулла.

Надежность наиболее распространенных элементов электрических сетей, таких как силовые трансформаторы и кабельные линии, в значительной степени определяется надежностью работы изоляции, «прочность» которой изменяется в течение эксплуатации. Основной характеристикой изоляции электромеханических изделий является ее электрическая прочность, которая в зависимости от условий эксплуатации и вида изделия определяется механической прочностью, эластичностью, исключающей образование остаточных деформаций, трещин, расслоений под воздействием механических нагрузок, т.е. неоднородностей.

Однородность и монолитность структуры изоляции и ее высокая теплопроводность исключают возникновение повышенных местных нагревов, неизбежно приводящих к увеличению степени неоднородности электрической прочности. Разрушение изоляции при функционировании элемента происходит в основном в результате нагревания токами нагрузок и температурных воздействий внешней среды.

Рассмотрев два основных фактора (тепловое старение и механическая нагрузка), влияющих па срок службы изоляции, которые к тому же тесно связаны между собой, можно сделать вывод, что как усталостные явления в изоляции, так и тепловое ее старение в значительной степени зависят от качества изготовления и материала электротехнического изделия, от однородности материала изоляции, обеспечивающей отсутствие местных нагревов (так как трудно предположить, что откажет вся изоляция, т.е. пробой произойдет по всей площади изоляции).

Микротрещипы, расслоения и другие неоднородности материала случайно распределены в отношении своего положения и своей величины по всему объему (площади) изоляции. При воздействии переменных неблагоприятных условий как теплового, так и электродинамического характера неоднородности материала увеличиваются: например, микротрещина распространяется в глубь изоляции и при случайном повышении напряжения может вызвать пробой изоляции. Причиной отказа может быть даже небольшая неоднородность материала.

Естественно предположить, что число неблагоприятных воздействий (тепловых или электромеханических), вызывающих пробой изоляции, есть функция, убывающая в зависимости от размеров неоднородности. Это число минимально для наибольшей по размерам неоднородности (трещины, расслоения и др.).

Следовательно, число неблагоприятных воздействий, определяющее срок службы изоляции, должно подчиняться закону распределения минимальной случайной величины из совокупности независимых случайных величин, соответствующих различным по размерам неоднородностям:

где Ги — время безотказной работы всей изоляции; Ги, — время безотказной работы /'-го участка (/' = 1,2, п).

Таким образом, для определения закона распределения времени безотказной работы такого объекта, как изоляция элемента электрической сети, необходимо найти закон распределения минимального времени безотказной работы совокупности всех участков. Наибольший интерес представляет случай, когда законы распределения времени безотказной работы отдельных участков имеют различный характер, но вид законов распределения одинаков, т.е. резко выраженных отличий у участков нет.

С позиций надежности участки такой системы соответствуют последовательному соединению. Функция распределения времени безотказной работы такой системы из п участков, соединенных последовательно:

Рассмотрим общий случай, когда распределение Р(г) имеет так называемый «порог чувствительности», т.е. элемент гарантированно не откажет в интервале времени (0, /о) (в частном случае /о может быть равно 0). Очевидно, что функция Р(1ц + Д/) > 0 — всегда неубывающая функция аргумента.

Для системы можно получить асимптотический закон распределения времени безотказной работы:

Если распределение не имеет порога чувствительности /0, то закон распределения будет иметь вид

где с — некоторый постоянный коэффициент, с > 0; а — показатель Вейбулла.

Этот закон называется распределением Вейбулла. Он довольно часто используется при аппроксимации распределения времени безотказной работы системы с конечным числом последовательно (с точки зрения надежности) соединенных элементов (протяженные кабельные линии со значительным числом муфт и др.).

Плотность распределения времени безотказной работы [21 ]

При а = 1 плотность распределения превращается в обычную показательную функцию (рис. 3.3).

Для интенсивности отказов при плотности распределения по закону Вейбулла получим

Интенсивность отказов для этого закона в зависимости от параметра распределения а может расти, оставаться постоянной (показательный закон) и уменьшаться (рис. 3.4).

При а = 2 функция распределения времени безотказной работы совпадает с законом Рэлея, а при а » 1 достаточно хорошо аппроксимируется нормальным законом распределения в окрестности среднего времени безотказной работы.

Дифференциальная функция распределения времени безотказной работы по закону Вейбулла

Рис. 3.3. Дифференциальная функция распределения времени безотказной работы по закону Вейбулла

Интенсивность откатов при распределении по закону Вейбулла

Рис. 3.4. Интенсивность откатов при распределении по закону Вейбулла

Как видно из рис. 3.3 и 3.4, экспоненциальный закон распределения является частным случаем закона Вейбулла при а = 1 (А. = const).

Закон Вейбулла очень удобен для вычислений, но требует эмпирического подбора параметров А. и а для имеющейся зависимости А.(/).

Математическое ожидание (среднее время) безотказной работы и дисперсия при распределении по закону Вейбулла:

где Г(х) — гамма-функция, определяемая по таблице Г(.г) (см. прил. 2); с — некоторый постоянный коэффициент, определяющий вероятность появления к элементарных повреждений на интервале времени (0, /)•

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >