Вероятность отклонения случайной величины относительно центра рассеивания

На практике часто встречаются задачи вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеивания т (рис. 3.2).

Для определения вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, на участок, симметричный относительно центра рассеивания, можно использовать функцию Лапласа. В этом случае согласно выражению (3.14)

Рис. 3.2. Отклонение от центра рассеивания т

С учетом свойства (3.13) окончательная формула будет иметь следующий вид:

В частном случае, когда т = 0, т.е. рассматривается отклонение случайной величины от оси ординат:

Правило трех сигм.

Решим следующую задачу. Отложим от центра рассеивания т (рис. 3.2) отрезки длиной За. Площадь фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на участок т ± За, есть вероятность попадания случайной величины X на этот участок. Вычислим эту вероятность, используя формулу (3.16):

т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине не превысит За, равна 0,9973, а вероятность того, что отклонение будет не меньше За, равна 0,0027.

Сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т.е. почти все рассеивание (с точностью до долей процентов) укладывается на участке т ± За.

Это позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал ее практически возможных значений х_тах и х_тш. Из правила трех сигм вытекает также способ приближенного определения среднего квадратического отклонения и математического ожидания:

Пример 3.1. Случайная величина (У, распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения напряжения источника питания 400 В. При измерении вольтметром допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 12 В; среднее квадратическое отклонение ошибки измерения равно 8 В. Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 16 В.

Решение. Ошибка измерения есть случайная величина и, подчиненная нормальному закону с параметрами т - 12 В и о = 8 В. Нужно найти вероятность попадания этой величины на участок от а = -16 В до р = +16 В.

По формуле (3.10) имеем

Пользуясь таблицами функции [1], найдем

Тогда

Пример 3.2. Найти ту же вероятность, что и в предыдущем примере, но при условии, что систематической ошибки измерения нет.

Решение. По формуле (3.17), полагая о = 16, найдем

Пример 3.3. Случайная величина /_р — ток нагрузки магистрального шинопровода — подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием нагрузки т - 200 А и средним квадратическим отклонением о = 50 А. Определить вероятность того, что реальная нагрузка шинопровода превысит значение 350 А.

Решение. Использование формулы (3.10) предполагает, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал находится как разность площадей под кривой распределения от -оо до р и от -оо до а. У нас стоит обратная задача, т.е. необходимо определить площадь кривой распределения за точкой а. Очевидно, что эта площадь (вероятность) может быть найдена как 1 - Р(1_р > 350). Но в общем случае кривая Гаусса простирается в область отрицательных значений, а нагрузка отрицательной быть не может. Следовательно, площадь, ограниченная кривой Гаусса в интервале от 0 до +оо, будет меньше единицы.

Вычислим площадь (то же, что и вероятность), ограниченную кривой распределения от -оо до 0:

Видим, что вероятность попадания случайной величины на участок (-оо, 0) ничтожно мала, и ею можно пренебречь в дальнейших расчетах.

Поэтому

Полученная вероятность превышения реальной нагрузкой отклонений больше трех о (т.е. 150 А) от математического ожидания (200 А) также ничтожно мала. Пусть продолжительность рабочей смены Т_с= Ю ч. Тогда продолжительность превышения нагрузки /_р> 350 за смену

Пример 3.4. Нагрузка цеха 5_Р есть случайная величина с нормальным законом распределения. Найти математическое ожидание тя, если известно, что среднее квадратическое отклонение нагрузки 05= 20 кВ-А и вероятность превышения реальной нагрузкой значения

140 кВ-А, т.е. Д5_Р > 140), равна 0,23.

Решение.

или

По таблице для функции находим, что этой вероятности соответствует значение . Отсюда тъ - 100 кВ-А.