5.3. Описание квантовых систем с помощью матрицы плотности

Рассмотрим ансамбль многих частиц, имеющих чисто квантовую природу. Пусть различные частицы описываются различными функциями 4^, 4*2, 4'з, ..., 4*,, с некой «классической» вероятностью /ц. Найдем среднее значение некой наблюдаемой в этом ансамбле величины ?>:

Волновую функцию можно разложить по собственным функциям оператора Ь :

Тогда с учетом (5.2.11) равенство (5.3.1) преобразуется к виду Введем обозначение

Матрица с такими элементами носит название матрицы плотности р в представлении собственных функций оператора О. Тогда с учетом (5.2.1) (т.е. в представлении собственных функций) выражение для

т.е. среднее значение физической величины равно сумме диагональных членов (шпуру). Физический смысл матрицы плотности состоит в том, что ее диагональные члены

представляют собой полную вероятность нахождения частицы в состоянии ип, а

есть вероятность перехода частиц ансамбля между собственными состояниями и„ и и,„. Элемент матрицы плотности также эрмитовый, т.е.

а условие нормировки имеет вид

Наконец, можно показать, что из уравнения Шредингера в операторной форме (5.1.3) вытекает следующее уравнение для матрицы плотности:

где коммутатор

Контрольные вопросы и задачи

  • 1. Найти выражение для среднего значения вектора поляризации Р.
  • 2. Проверить, что уравнение Шредингера в операторной форме (5.1.3) совпадает с обычным представлением, если с помощью данных табл. 5.1 расшифровать составляющие гамильтониана Н.
  • 3. Найти матрицу произведения двух операторов.
  • 4. Показать, что гамильтониан гармонического осциллятора в представлении своих собственных функций будет иметь вид

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >