Энергетические уровни молекул

Решив уравнение Шредингера для атома водорода, мы нашли выражение для энергии электрона в атоме (2.3.11):

Используя это соотношение, мы построили энергетическую диаграмму атома водорода (рис. 2.3.3). Если воспользоваться соотношением (3.1.1), то можно в принципе построить энергетическую диаграмму для любого элемента. А как изменится эта диаграмма для молекулы? Рассмотрим это на примере молекулы водорода.

Колебательный спектр молекулы

Рассмотрим упрощенную модель молекулы водорода, схематически изображенную на рис. 3.3.1, а. Можно показать, что зависимость потенциальной энергии молекулы Жпот от расстояния между атомами г по характеру соответствует результирующему взаимодействию при ионной связи (рис. 3.2.1). Эта зависимость представлена на рис. 3.3.1, б.

Предположим, что атомы водорода могут колебаться вдоль линии «аа» (рис. 3.3.1) относительно центра тяжести с частотой со0- В этом случае потенциальная энергия системы изменяется на некоторую величину WK. Если WK « ЖдИС, то Жпот в близи равновесия (г « го) можно разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь первым членом разложения, получим выражение, напоминающее соответствующее для маятника, колеблющегося в поле тяжести [6]:

где Ждис — энергия диссоциации молекулы; р,„ = т{т2/(т^ + т2) — приведенная масса; х = г- г0; со0 — частота колебаний.

Модель молекулы водорода (а) и зависимость потенциальной энергии молекулы И,!,,, от расстояния между атомами (о)

Рис. 3.3.1. Модель молекулы водорода (а) и зависимость потенциальной энергии молекулы И7,!,,, от расстояния между атомами (о)

Если выражение для потенциальной энергии молекулы водорода (3.3.1) подставить в уравнение Шредингера, то стационарное уравнение примет вид

Решение (3.3.2) выражается в так называемых полиномах Эрмита Нк:

где . При этом ненулевые решения существуют только

в том случае, если

где v = 0, 1,2, ... —так называемое колебательное квантовое число. Отметим, что энергия колебательного движения молекулы Wv добавляется к энергии соответствующего электронного уровня. Поэтому общая энергия молекулы при учете колебательного движения будет равна Wz = W„ + Wv. Энергетическая диаграмма соответствующих колебательных переходов в молекуле водорода lfs(v) с учетом (3.3.3) показана на рис. 3.3.2. Переходы между колебательными уровнями возможны, если Av = ±1. Они более длинноволновые, чем переходы между электронными уровнями. Например, для Нг частота (о0 = = 2пс/Х0 - 8,2-1014 рад/с, и длинна волны основного перехода Хо = = 2,3 мкм.

Мы рассмотрели простейшую структуру. Молекулы, в состав которых входит большее число атомов, имеют не столь простой эквидистантный спектр. Более сложный спектр рассмотрим на примере молекулы ССЬ. На рис. 3.3.3 представлены возможные типы колебаний атомов в молекуле ССЬ.

Колебательные уровни молекулы водорода

Рис. 3.3.2. Колебательные уровни молекулы водорода

Типы колебаний в молекуле СО>

Рис. 3.3.3. Типы колебаний в молекуле СО>:

а — симметричная растягивающая мода; б — асимметричная растягивающая мода; в — изгибная мода

Колебательное состояние в молекуле С02 описывается уже не одним, а тремя квантовыми числами (V,, Уз). Энергия, соответствующая возбужденному состоянию, будет равна

Например, основное состояние обозначается (0, 0, 0), а возбужденное (0, 1,1). Энергия, соответствующая возбужденному состоянию (0, 1, 1), будет равна

Если число атомов, составляющих молекулу, достаточно велико, то могут существовать и так называемые крутильные моды. Пример крутильной моды представлен на рис. 3.3.4.

Пример крутильной моды

Рис. 3.3.4. Пример крутильной моды

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >