Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Физика arrow Тяготение: от Аристотеля до Эйнштейна

Глава 15. Закон Ньютона и космонавтика

Обратная задача небесной механики.

Установив закон тяготения, т. е. решив прямую задачу динамики, Ньютон мог теперь приступить к обратной задаче: по известному закону действия силы тяготения найти закон движения материальной точки, на которую действует эта сила. Эта задача решается методом интегрирования, и для ее решения Ньютону необходимо было изобрести интегральное исчисление, что он и сделал независимо от Лейбница. Пользуясь этим новым математическим аппаратом, Ньютон теперь из закона всемирного тяготения вывел законы движения планет вокруг Солнца.

Можно было думать, что ответ уже известен: это законы движения планет, уже открытые Кеплером. Но универсальность математического метода позволила Ньютону показать, что законы Кеплера не всеобщи. Так, Ньютон пришел к вывод»', что в соответствии с законом тяготения небесные тела могут описывать не только эллипсы, но и любое коническое сечение, т. е. эллипс, параболу или гиперболу, в фокусе которых находится центральное притягивающее тело Солнце. Таким образом, Ньютон расширил первый закон Кеплера. Оказалось, что род орбиты определяется скоростью тела в данной точке. При достаточно малых скоростях тело движется по эллипсу, при больших переходит на другую, уже не замкнутую орбиту: параболическую или гиперболическую и, следовательно, навсегда удаляется от центрального тела.

На этих выводах Ньютона основана космонавтика, возникшая в XX веке. По формулам Ньютона сейчас рассчитывается скорость, которую ракета-носитель должна сообщить телу для того, чтобы оно стало искусственным спутником Земли (так называемая первая космическая скорость), а также скорость, необходимая для того, чтобы оно полностью преодолело земное притяжение и навсегда «покинуло» Землю перестало вращаться вокруг нее (эта скорость сейчас называется второй космической скоростью).

Если предположить, что тело обращается вокруг Земли по круговой орбите, и пренебречь силой сопротивления атмосферы, то необходимую для этого скорость тела первую космическую скорость VI можно рассчитать элементарным способом. Надо лишь учесть, что для этого тела центростремительное ускорение совпадает с ускорением силы тяжести g: г>2 / г о = д, где го есть расстояние тела от центра Земли (не забудем, что в теории Ньютона любое тело притягивает так, как будто бы вся его масса была сосредоточена в его центре масс). Из этого равенства находим VI — у/дго- Примем, что спутник движется невысоко над поверхностью Земли, на расстоянии, пренебрежимо малом по сравнению с радиусом Земли 6370 км. Тогда, подставляя в полученную формулу го = 6370 км и записав ускорение свободного падения как д = 0,0098 км/с2, получим значение первой космической скорости: г-1 = 7,9 км/с.

Чтобы получить значение второй космической скорости г>2, элементарных методов даже для случая круговой орбиты недостаточно: здесь не обойтись без интегрирования. Скорость г>2 тела массы т должна быть такой, чтобы энергия тела ту2 могла уравновесить так называемый гравитационный потенциал Земли Ф. Гравитационный потенциал в точке, отстоящей от центра Земли на расстоянии го, есть потенциальная энергия Пг« тела в этой точке, отнесенная к единице массы тела: Ф = Поо/т. Величина Поо равна работе силы тяжести, совершаемой при перемещении точки с расстояния го от Земли на бесконечность. Она вычисляется интегрированием элементарной работы силы тяжести С = ктМ/г2, где М масса Земли, по переменной г на пути от го до бесконечности.

Произведем расчет:

Следовательно ньютоновский гравитационный потенциал в точке, отстоящей от центра масс на расстоянии го (для любого тела массы М, не обязательно для Земли), выражается формулой

Теперь для получения скорости У2 достаточно записать равенство тпь'2 /2 = Пдо (необходимая кинетическая энергия точки должна быть равной работе но преодолению ее силы тяжести, начиная с расстояния го до бесконечности). Так как Поо = тФ(го) = ктМ/го, то равенство примет вид гт;.2/2 = ктМ/го, откуда, деля на т, получаем:

Чтобы найти скорость г>2 по формуле (15.3), требуется, как видим, знать массу Земли М. Вопрос о вычислении массы Земли сам но себе представляет интерес. Закон Ньютона позволил найти очень простой способ ее вычисления. Мы знаем, что на поверхности Земли тело массы т притягивается к Земле с силой Д = ктМ/Яц, где До радиус Земли, М ее масса. С другой стороны, по закону движения Ньютона Р = тд, где д ускорение свободного падения тела. Приравнивая эти два выражения для силы тяжести Р тела, получаем: тд = ктМ/Яд, откуда М = дЯц/к. Подставляя в это выражение уже известные нам значения д, До и к, получаем: М = 5,97 х 1027 г. Такова масса Земли.

Для вычисления скорости ь-2 по формуле (15.3) следует, как и прежде, учесть, что расстояние го спутника от центра Земли пренебрежимо мало отличается от радиуса Земли Д0. так что можно вместо го принять значение До (переведенное в сантиметры). Приняв также для массы Земли вычисленное нами значение М = 5,97 х 1027 г, а. для гравитационной постоянной известное нам значение к — 6,67 х 10~8. получаем величину второй космической скорости (уже переведенную для удобства в километры за секунду): г>2 = 11,2 км/с.

Вторая космическая скорость это наименьшая скорость, с которой тело преодолевает земное притяжение: при этой скорости оно перестает вращаться по эллипсу и переходит на параболическую орбиту. По этой орбите оно навсегда ушло бы от Земли, если бы не было более могущественного притяжения Солнца. Вследствие тяготения Солнца, тело, уйдя с земной орбиты, станет вращаться но эллипсу вокруг Солнца.

При скоростях больших, чем 11,2 км/с, тело также уходит от Земли, но уже по гиперболической траектории. Не может ли быть такой скорости, начиная с которой тело, запускаемое с поверхности Земли, преодолевает не только притяжение Земли, но и притяжение Солнца и, таким образом, навсегда покидает Солнечную систему? Расчет по тем же формулам Ньютона показывает, что это произойдет по достижении телом, ускоряющимся в направлении движения Земли, скорости г’з = 16,7 км/с. Эта скорость называется третьей космической скоростью.

Теория тяготения, созданная в XVII веке, обслуживает космонавтику XX века! После Ньютона на основе его теории тяготения была создана новая самостоятельная наука небесная механика. Она позволяла рассчитывать не только видимые положения светил на небе, но и их истинное движение в космическом пространстве. Основы ее заложены Ньютоном, но главный вклад в ее развитие внес знаменитый французский механик, математик и астроном Пьер Симон Лаплас (1749-1827).

Кеплер открыл законы движения планет эмпирически, путем наблюдений. Бог знает, как ему это удалось! Эйнштейн, например, всю жизнь удивлялся: как можно было открыть законы движения планет, еще не зная законов механики, по которым происходит это движение? Ньютону уже не нужны были наблюдения: он вывел законы движения, да еще более точные, из созданной им физической теории.

Мы уже знаем, как Ньютон уточнил первый закон Кеплера. То же он сделал и с третьим законом. Наблюдения позволили Кеплеру получить его третий закон движения планет в форме (14.4), но она оказалась лишь приближенной. Ныотон вывел точную формулу для третьего закона Кеплера:

Здесь М — масса некоторого центрального тела (например. Солнца), т масса его спутника (например, Земли), большая полуось орбиты спутника, Т период его обращения. Соответственно, М2, ГП2, «2 и Т2 обозначают аналогичные величины для другого центрального тела и его спутника (например. Земли и Луны). Точная формула (15.4) позволила Ньютону, зная массу Земли и Луны, вычислить массу Солнца. С помощью этой формулы оказалось также возможным, зная массу Земли, вычислить массы других планет.

Ньютон оказался первым ученым, который «взвесил» небесные тела.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы