5.2.4. Термодинамическая устойчивость стационарных состояний и критические стационарные состояния

Выше была установлена связь, имеющаяся между динамическими свойствами флуктуаций в стационарных состояниях и их устойчивостью, и было показано, что матрица о~1 (обратная одновременной дисперсионной матрице) в случае асимптотически устойчивого стационарно-неравновесного состояния турбулентного хаоса порождает функцию Ляпунова. С другой стороны, наличие функции Ляпунова является достаточным условием асимптотической устойчивости стационарного состояния Д'. Как известно, в случае молекулярных флуктуаций, когда стационарное состояние является термодинамически равновесным, существует еще одна немаловажная взаимозависимость между устойчивостью и флуктуациями параметров системы, которая устанавливается вторым началом термодинамики и приводит к квадратичной функции Ляпунова

для релаксационных процессов вблизи равновесия. В частности, для замкнутых систем с молекулярными флуктуациями второй дифференциал энтропии есть отрицательно определенная функция Ляпунова, а обратная дисперсионная матрица е)~[ в соотношении (5.2.16) для стационарной гауссовской одновременной плотности вероятности Wf(q), связана с матрицей вторых производных энтропии формулой Эйнштейна (ae)~l = ~(/kB)d2S/dqdqe (см., например, де Грот, Мазур, 1964). Покажем, что аналогичная связь с термодинамикой существует и для физического ансамбля, отвечающего стационарно-неравновесному состоянию турбулентного хаоса —среды, испытывающей постоянное воздействие со стороны подсистемы осредненного движения, и потому лишенной возможности приблизиться к состоянию полного термодинамического равновесия.

Естественный подход к обобщению идей, объясняющих образование равновесных структур, на неравновесные ситуации состоит в расширении понятия потенциальной функции, описывающей динамические свойства макроскопических систем, находящихся на конечном расстоянии от термодинамического равновесия. С этой целью сделаем следующее обобщающее предположение относительно вида одновременной плотности вероятности Wx(q, ТшЪ) для стационарно-неравновесных состояний ансамбля, относящегося к подсистеме турбулентного хаоса: по предположению будем считать, что формула

задает вероятность Wx(q, ?turb), как функцию неравновесного термодинамического глобального потенциала <$>(q) для стационарно-неравновесных состояний системы (Graham, 1981). В показателе экспоненты (5.2.32) указана лишь главная часть функции Wx(q, ТшЬ), отвечающая предельному случаю слабого шума ?->0, т. е. когда переменные q удовлетворяют детерминистскому варианту стохастического уравнения (5.2.21)— уравнению (5.2.8). Таким образом, потенциал

определяет асимптотическое выражение для стационарно-неравновесной функции распределения. Также по предположению будем считать, что функция Ф0(#) однозначна, непрерывна и, по крайней мере, обладает кусочной дифференцируемостью первого порядка. Соотношение (5.2.32) является в некоторой степени обобщением постулата Больцмана—Планка (для равновесного распределения флуктуаций термодинамических параметров замкнутой системы, когда Ф = -5) на случай стационарно-неравновесных состояний ансамбля, отвечающего подсистеме турбулентного хаоса.

Если подставить (5.2.32) в уравнение (5.2.6) и перейти к детерминистскому пределу <д-»0, то в результате получим уравнение

которое связывает потенциал Ф0(K(q, 0) и Q(q). Функция Ф0(#) определяется как решение уравнения (5.2.34), если граничные условия соответствуют бесконечно большим значениям Ф0(#) при q->co (для устойчивой системы).

Отметим теперь три важнейших свойства глобального потенциала Ф0(#).

• Функция Ф0(#) убывает со временем вдоль траектории, определяемой детерминистским уравнением (5.2.8), так как

  • (напомним, что матрица ()^) является положительно определенной); следовательно, Ф{)(?) представляет собой функцию Ляпунова для детерминистского уравнения (3);
  • • Из свойства (5.2.35) следует, что Ф0(#) имеет локальный минимум для любого устойчивого аттрактора уравнения (5.2.33) в пространстве конфигураций. На любом связном подмножестве аттрактора потенциал Ф0(#) постоянен. Неустойчивые стационарные решения уравнения (5.2.33) соответствуют максимума или седловым точкам функции Ф0(
  • • Потенциал Ф0(ф), когда он найден, содержит богатейшую информацию относительно функции распределения вероятностей в стационарных состояниях и аттракторов детерминистских уравнений.

Рассмотрим здесь частный случай моностабильного стационарного состояния когда формула (5.2.32) существенно упрощается: процесс релаксации подсистемы флуктуирующего хаоса оказывается гауссовским. Действительно, разлагая вблизи этого состояния функцию Фц(#) в ряд Тейлора, будем иметь

где — симметричная положительно

определенная матрица. Одновременно, детерминистское уравнение (5.2.8) в окрестности qss можно переписать в виде

где тогда уравнение (5.2.34) приобретает следующую форму:

Подставляя (5.2.36) в (5.2.37), получаем уже известное нам алгебраическое уравнение (5.2.17)

для определения <г*(^'). Отсюда, независимо от глобального условия (5.2.35), при использовании флуктуационно-диссипационной теоремы (5.2.17), можно сделать вывод, что термодинамический потенциал (5.2.36) для внутренних степеней свободы q является функцией Ляпунова для неравновесных стационарных состояний флуктуирующего хаоса. Поскольку линеаризация уравнения переноса проводилась вблизи стационарного состояния, то потенциал Фо(0) вида (5.2.36) можно назвать локальным потенциалом; пользоваться им можно только в локальной окрестности стационарного состояния #ч!. Из (5.2.17*) следует, что а* будет положительно определенной матрицей, если действительные части всех собственных значений матрицы Н отрицательны, т. е. если стационарное состояние, как и предполагалось, устойчиво.

С другой стороны, независимо от условия (5.2.17*) имеем

т. е. в любом случае система движется в направлении убывания потенциала Ф0(^). При этом она стремится к стационарному состоянию, если последнее устойчиво, и к бесконечности, если оно не устойчиво. Критические точки возникают в тех случаях, когда члены второго порядка обращаются в нуль при малых ненулевых значениях дц. Вместе с тем, принцип минимума потенциала гарантирует, что в окрестности устойчивого стационарного состояния, которое не является критической точкой, матрица (а*)~1 = (квТшЬ)~1 д2Фи/дддд$' строго положительна. Таким образом, для устойчивого стационарного состояния #я0, не слишком близкого к критическим точкам, из постулата (30) имеем следующее гауссовское распределение вероятностей

где значение нормировочного коэффициента следует из условия нормировки (5.2.7).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >