5.2.3. Неравновесные стационарные состояния турбулентного хаоса

Проанализируем теперь, с использованием уравнения (5.2.23), кардинальную проблему развиваемого термодинамического подхода к моделированию стационарного каскадного процесса — возможность существования асимптотически устойчивых стационарно-неравновесных состояний д" и предельных циклов в подсистеме турбулентного хаоса. Рассмотрим сначала детерминированное поведение подсистемы турбулентного хаоса, при котором внутренние параметры состояния #(Г) удовлетворяют детерминистскому дифференциальному уравнению (5.2.8)

отвечающему предельному случаю гг —»0 отсутствия влияния на движение «внутреннего шума», связанного с «тепловой» структурой хаоса. По поводу этого уравнения следует заметить, что, хотя движение отдельных вихревых молей по траекториям детерминировано, движение отдельных областей конфигурационного пространства, т. е. пучков траекторий, приобретает стохастические свойства. Другими словами, в эволюции подобной динамической системы внутренняя стохастичность сосуществует с полностью детерминистическими законами динамики. Отметим также, что аналогичное (совпадающее буквально до деталей при замене д на д°) рассмотрение можно провести на основе осредненного уравнения (5.2.20), справедливого и при учете «тепловых» флуктуаций. Внутренний шум подсистемы турбулентного хаоса, вносящий некоторое усложнение в проводимый анализ, можно учесть уже после того, как поведение детерминированной системы (5.2.8) исследовано полностью (см. Кайзер, 1990). Динамическое уравнение (5.2.8) является автономным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка по времени, решения которого параметрически зависят от начальных условий ^г(О) = д0, а также от некоторого набора управляющих параметров а = {Яе, Ре, ...} (воспроизводящих воздействие на подсистему хаоса «внешнего мира»), изменение которых приводит, в общем случае, к изменению самого характера движения, а значит и хода эволюции вихревой подсистемы.

Проблема установления в подсистеме турбулентного хаоса некоторого упорядоченного режима может быть исследована следующим образом. Поскольку «среда» по предположению постоянна, то можно предположить, что существует, по крайней мере, одно стационарное решение да уравнения (5.2.8), т. е. решение не зависящие от времени, для которого

Это решение соответствует тривиальному неорганизованному состоянию турбулентного хаоса (для дальнейших целей мы примем его за опорное состояние). Заметим, что образом стационарного состояния в ^-пространстве служит особая (предельная) точка определенного типа (центр, устойчивый фокус, седло, неустойчивый узел и т. п.); в случае конфигурационного пространства большой размерности п число типов особых точек возрастает. Переход к упорядоченному вихревому режиму хаоса связан с идеей неустойчивости и нарушения его первоначальной симметрии: самоорганизация возникает, когда тривиальное решение ф- становится неустойчивым и сменяется новым решением уравнения (5.2.8), обладающим более низкой симметрией. Простейший способ исследования такой возможности состоит прежде всего в проверке устойчивости стационарного состояния относительно малых возмущений.

Устойчивость предельной точки означает, что траектории в ее окрестности, описывающие процесс релаксации, стремятся к ней при ?->оо. Другими словами, предельная точка, имеющая в пространстве конфигураций определенную область притяжения, является аттрактором. Как уже упоминалось выше, при некоторых значениях управляющих параметров аттрактор может быть не единственным. Возможны ситуации, когда в пространстве внутренних координат существует несколько аттракторов, каждый из которых имеет свою область притяжения. Это связано с тем, что система уравнений К(ул) = О может иметь более одного решения, даже если К — линейная вектор-функция:

в этом частном случае Н д*1 = 0, т. е. состояния являются собственными векторами (модами) матрицы Н с нулевыми собственными значениями.

При изучении вероятностных аспектов возможных сценариев эволюции начальных стационарных состояний, требуется иметь исходный физический ансамбль, соответствующий подсистеме турбулентного хаоса. Если исследуется вполне конкретное стационарное состояние то необходимо, чтобы представленные ансамблем начальные условия q{) были сосредоточены в области именно его притяжения. Возникает вопрос: является ли данное стационарное состояние действительно устойчивым по Ляпунову при начальном условии q) (или орбитально устойчивым по Пуанкаре), подобно термодинамически равновесным состояниям в классической термодинамике? В противном случае траектории q(l), которые начинаются вблизи q%t, не выйдут на нужное стационарное состояние. А это с высокой вероятностью означает, что неустойчивые стационарные состояния, не имеющие области притяжения, не могут быть описаны квазистационарным статистическим ансамблем, поскольку его невозможно даже организовать подобающим образом.

Однако такую возможность, несомненно, гарантирует асимптотическая устойчивость, являющаяся частным случаем устойчивости по Ляпунову, при которой существует некоторая окрестность стационарного состояния qя, такая, что все выходящие из нее траектории остаются близкими к этому состоянию-аттрактору, и со временем асимптотически стремятся к нему. Другими словами, когда состояние 4^' устойчивопо Ляпунову и, кроме этого, всегда можно найти ц > 0, такое, что при

Асимптотическая устойчивость по Ляпунову (в общем случае и асимптотическая орбитальная устойчивость) характерна для любых систем с диссипацией, в частности, она присуща и подсистеме турбулентного хаоса. В случае статистических флуктуаций, связанных с атомарной структурой среды, из второго начала термодинамики следует, что все состояния термодинамического равновесия, не являющиеся критическими точками (см. ниже), асимптотически устойчивы. Задача этого раздела показать, что аналогичная ситуация возможна для стационарно-неравновесных состояний турбулентного хаоса. Далее мы обсудим возможные критерии, гарантирующие асимптотическую устойчивость отдельных стационарных состояний флуктуирующего хаоса. Один из них основан на анализе устойчивости решения уравнения (5.2.8) по первому (линейному) приближению, другой — на существовании «функции Ляпунова».

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >