Стохастический подход к изучению эволюции турбулентного хаоса.Гауссовский процесс

В п. 5.1 был применен стохастико-термодинамический формализм, основанный на включении в модель турбулентного хаоса, помимо обобщенных «классических» термодинамических переменных, некоторого числа внутренних координат дк, отвечающих мелкомасштабным турбулентным пульсациям и описывающих вихревые и температурные структуры. Эти переменные являются, вообще говоря, случайными функциями, флуктуирующими около своих стационарных (средних) значений д%. Было подчеркнуто, что в качестве внутренних координат хаоса могут фигурировать положительные величины, являющиеся четными функциями флуктуирующих скоростей, температур или концентраций, или их логарифмы.

Обсудим теперь более детально обоснование ряда постулатов, а также физических и математических предположений, на которых основан развиваемый нами подход к моделированию структурированной турбулентности. Введем в рассмотрение широко используемый далее гауссовский стохастический процесс д(Г) в пространстве конфигураций, для которого все совместные и условные плотности вероятности имеют гауссовскую форму. Как будет ясно из дальнейшего, можно считать, что стационарные, гауссовские и марковские процессы (так называемые процессы Орштейна—Уленбека) представляют собой неплохое приближение при описании асимптотически устойчивого стационарного состояния модельной макроскопической подсистемы турбулентного хаоса. В этой связи важно иметь в виду, что статистика сильно нелинейных случайных полей скорости и температуры в реальной турбулизованной жидкости не носит, в общем случае, ни гауссовского, ни марковского характера, особенно на больших масштабах (см., например, Монин, Яглом, 1996). Тем не менее нам представляется целесообразным рассмотреть и это имеющее ограниченный характер приближение, преимущество которого состоит, в частности, в том, что мы приобретаем возможность, на уровне хорошо разработанной теории случайных функций, исследовать свойства и поведение тех стационарно-необратимых диссипативных процессов в подсистеме хаоса, которые связаны с флуктуациями, устойчивостью и бифуркационными изменениями отдельных стационарных состояний.

Многомерное обобщение кривой Гаусса

определяется двумя матричными величинами: средним значением # = = / qG(q)dq и тензорной дисперсией (здесь

матрица, обратная к положительно определенной матрице п-ю порядка у). Отметим, что для стационарного гауссовского процесса только условные средние и соответствующие дисперсии зависят от времени и, именно, с

этими величинами связаны детерминистские уравнения переноса для макровеличин, описывающие линейную релаксацию средних к их стационарным значениям (см. Кайзер, 1990).

Поясним теперь более подробно, почему иногда удобно выбрать в качестве внутренних координат хаоса логарифмы положительных стохастических характеристик турбулентности, типа скорости диссипации турбулентной энергии. Пусть е*(г, /) — некоторая положительная локальная характеристика турбулентного поля, определяемая турбулентными пульсациями (например, скорость диссипации турбулентной энергии е(г, г), или скорость вырождения дисперсии температуры ет(г, г) и т. п.). Тогда в случае полностью развитой турбулентности, согласно уточненным гипотезам подобия Колмогорова (Колмогоров, 1962), диссипация с(г, 1) (или родственные ей величины) асимптотически удовлетворяет логарифмически нормальному распределению вероятностей, т. е. случайная переменная 1п е* распределена по гауссовскому закону

Кроме этого, в теории Колмогорова предполагается линейная зависимость дисперсии о2п с, от ln(L/q) [см. п. 6.1]

где ап е*2 и т* — суть дисперсия и среднее (стационарное) значение случайной переменной Inc*; B(r, 1) — слагаемое, зависящее от характеристик крупномасштабного движения; р* — универсальная постоянная, имеющая различные значения для разных переменных ?*; L/q~ ReV4.

Распределение (5.2.2), принятое в уточненной теории Колмогорова (1961), может быть оправдано тем обстоятельством, что модель случайного каскада подобна процессу дробления пылевых частиц, которому, как известно, асимптотически отвечает логарифмически нормальное распределение по размерам. Помимо этого, имеются многочисленные экспериментальные подтверждения логнормального распределения вероятностей диссипации турбулентной энергии и связанных с ней положительных мелкомасштабных характеристик турбулентности в широком интервале умеренных значений аргумента. Основательный обзор соответствующих работ приведен, например, в книге (Монин, Яглом, 1996), к которому мы и отсылаем заинтересованного читателя. Следует, однако, заметить, что во всех случаях было обнаружено, что на «хвостах», т. е. при очень малых или очень больших значениях аргумента, эмпирическое распределение вероятностей все же отклоняется от логарифмически нормального. С этим фактом связано, в частности, то обстоятельство, что высшие моменты е* уже не могут быть аккуратно вычислены с помощью логнормального распределения. Кроме того, в ряде публикаций правильность логнормального распределения для подобных величин была подвергнута сомнению, поскольку оно неявно предполагает появление сверхзвуковых скоростей при очень больших числах Рейнольдса (см., например, Фриш, 1998).

Второй аргумент в пользу использования переменных q* = In е* состоит в том, что величина In с* флуктуирует гораздо слабее, чем ?*, и потому ее среднее значение имеет более значимый физический смысл: сильные флуктуации случайной переменной ?*, возникающие, например, в критической точке, искажают статистику величины In с* гораздо меньше, чем статистику величины ?*. Кроме этого, в случае больших флуктуаций ?* экспонента от среднего значения In ?* дает наиболее вероятное значение самой величины е*.

При подстановке многомерного гауссовского распределения W?s(q*) для подобных мелкомасштабных характеристик q* = {In ?*, ln ?r|, ...} в выражение (5.1.19**) для силы трения

получим:

где дисперсия процесса определяется соотношением

Таким образом, фигурирующая в уравнении ФПК (5.1.39) «сила трения» в пространстве внутренних переменных турбулентного хаоса зависит, например, от глобального числа Рейнольдса И.е, управляющего режимом турбулентного движения в целом, что и определяет, в конечном счете, возможность перестройки вихревой структуры ансамбля гидродинамических систем, ассоциированного с турбулентным хаосом, позволяя выявить те критические значения Яесг, при которых происходит, например, его скачкообразный переход из некоторого квазиустойчивого стационарного состояния к новому стабильному состоянию.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >