Уравнения энергетического баланса

При феноменологическом построении моделей (различного уровня сложности) многокомпонентной турбулентной среды нам понадобятся разнообразные уравнения энергетического баланса для реагирующей смеси при ламинарном режиме течения. В этом вводном разделе мы дадим краткий вывод этих уравнений в случае консервативных внешних полей.

Баланс потенциальной энергии

Определим удельную потенциальную энергию газовой смеси соотношением

где фа(г) — скалярный потенциал (на одну частицу сорта а), удовлетворяющий условию Соответствующее уравнение баланса получим, исходя из операторного соотношения (2.1.4). Полагая для этого будем иметь

Предполагая далее, что плотность внутреннего источника потенциальной энергии обращается в нуль , что справедливо в случае, когда в химических реакциях выполняется условие сохранения потенциальной энергии (см. Дьярмати, 1974):

окончательно получим

Сопоставляя теперь это уравнение и уравнение (2.1.1), записанное при ?4 = Ч*, получим для субстанционального потока /(ф) и объемного источника <7(Ц)) потенциальной энергии многокомпонентной смеси следующие выражения

Сохранение полной энергии смеси

Балансовое уравнение (закон сохранения) для полной энергии многокомпонентного континуума в субстанциональной форме имеет вид

где

— полная удельная энергия среды; E(r, t) — внутренняя удельная энергия газовой смеси (которая фактически определяется этим соотношением);

— вектор субстанционального потока полной энергии движущейся смеси; q(r, t) — плотность молекулярного потока тепла; ?/ — единичный тензор. Соотношение (2.1.18) фактически можно рассматривать, как точное определение теплового потока q, выбором которого весьма свободно, как известно, пользуются в экспериментальной физике и теплофизике.

Важно ясно себе представлять, что вводимое соотношением (2.1.17) определение внутренней энергии смеси (где ea(r, t) — парциальная (на

одну частицу) внутренняя энергия компоненты а, включающая химическую энергию) не является, вообще говоря, корректным. Это связано с тем, что величина Е в общем случае должна включать в себя помимо членов, связанных с тепловым движением молекул и короткодействующим силовым межмолекулярным взаимодействием (что согласуется с обычным пониманием внутренней энергии), еще и члены, зависящие от макроскопической кинетической энергии диффузии химических компонентов (в системе центра масс). Для многокомпонентной среды эти дополнительные члены являются, как известно, величинами второго порядка малости и потому часто могут быть опущены (это случай, так называемого, диффузионного приближения (Седов, 1984)). Однако для многофазной среды (например, газопылевой), подобная добавка

может быть значительной и должна приниматься во внимание в явном виде (см. гл. 7).

Баланс механической энергии смеси

Запишем уравнение баланса для удельной кинетической энергии поступательного движения центра масс. Скалярно умножая для этого уравнение движения (2.1.9) на вектор скорости и и делая стандартные преобразования, получим теорему живых сил для многокомпонентной смеси в субстанциональной форме

Здесь произведение П • и тензора П на вектор и определяется как вектор с компонентами а двойное произведение двух тензоров

:(д/дг)и) определяется как скаляр, равный

(краткое изложение используемых здесь формул тензорного исчисления дано в приложении).

Если сложить теперь (2.1.14) и (2.1.19), то получим уравнение субстанционального баланса удельной механической энергии ет, Г) = |и|2/2 + ЧЕ

где

— соответственно плотность субстанционального потока механической энергии ет и скорость образования механической энергии смеси.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >