Исходные законы сохранения и балансовые уравнения для регулярного движения газовой смеси

О моделях сплошных сред

Изучение явлений окружающего нас материального мира удобно осуществлять с помощью математических моделей для сред, полей и процессов, которые позволяют осмысливать наблюдения и развивать методы прогнозирования предстоящих событий. Каждая такая модель представляет собой определенную схематизацию изучаемого физического явления, учитывающую не всю полноту свойственных ему факторов, а лишь некоторую их часть, характеризующую явление с той или иной стороны. При этом правдоподобная схематизация зачастую представляет собой трудную задачу, требующую от исследователя немалого опыта, интуиции и глубокого проникновения в сущность методов познания механизмов изучаемого природного явления. Одним из общих методов схематизации движения жидкостей, газов и других деформируемых тел, является метод, основанный на построении новых континуальных моделей среды с усложненными физико-химическими свойствами (Седов, 1980). Схематизация, при которой происходит замена реальной природной среды, состоящей из отдельных молекул, непрерывным континуумом, оказывается весьма удобной для применения мощного математического аппарата непрерывных функций и, как показала практика, в подавляющем большинстве случаев вполне эффективна для изучения множества наблюдаемых природных явлений и процессов.

Существует множество интересных и актуальных задач, которые удается решать в рамках классических моделей сплошных сред, таких как модели движения идеальных или вязких несжимаемых (сжимаемых) жидкостей и газов, модели движения многокомпонентных или гетерогенных смесей, модели движения ионизованных газов и т. п. Нам представляется уместным отметить здесь исключительную роль академика Л. И. Седова, который впервые в нашей стране поставил вопрос о необходимости построения неклассических моделей сплошных сред с усложненными физико-химическими и тепловыми свойствами, которые позволяют дать описание новых механических эффектов и разрешать важные проблемы, возникающие во всевозможных механических приложениях. В частности, им впервые была обоснована фундаментальная роль термодинамических представлений и кинетических закономерностей физики и химии при конструировании моделей континуальной механики для получения определяющих материальных соотношений, которые совместно с основными законами сохранения описывают движение и физико-химические явления и процессы (см. Седов, 1962). Отметим, что в последние три-четыре десятилетия в научной литературе интенсивно разрабатываются новые модели природных сред для описания внешних газовых оболочек небесных тел и окружающего их космического пространства. Такие модели характеризуются дополнительным набором физико-механических параметров, подобных концентрациям различных веществ и фаз в составе химически активной газовзвеси, электромагнитным характеристикам турбулизованной электропроводной среды, параметрам внутренней структуры, тензорам корреляционных величин и т. п.

В связи с построением моделей сплошных сред, возникает проблема получения на единых основаниях фундаментальных уравнений, которые содержали бы в себе как частные случаи соответствующие базовые закономерности, плодотворность которых уже продемонстрирована и доказана в механике, физике и химии при изучении материальных сред и полей. Очевидно, что в качестве фундаментальной основы получения замкнутых систем соответствующих дифференциальных уравнений должны лежать универсальные законы, которые могут служить базой для введения различных гипотез и закономерностей, подлежащих проверке при моделировании разнообразных физических явлений. Как хорошо известно, таким опорным базисом при теоретическом построении моделей сплошных сред служат универсальные законы механики о сохранении массы, количества движения и момента количества движения, универсальные законы термодинамики о сохранении энергии (первый закон термодинамики), об изменении или сохранении энтропии (второй закон термодинамики), законы химической кинетики и т. п.

Важно особо отметить, что законы неравновесной термодинамики при моделировании новых континуальных моделей играют первостепенную роль, поскольку используются также для установления определяющих материальных соотношений, выражающих специфические свойства конкретной сплошной среды. Современная неравновесная термодинамика включает в себя несколько относительно новых направлений, таких как теории с внутренними переменными (Пригожим, Кондепуди, 2002), новые формулировки рациональной термодинамики (Трусделл, 1984), теории, включающие флуктуации или основанные на кинетической теории газов (Кайзер, 1990), теория информации или нелинейные динамические системы (Анищенко и др., 2003). Все подобного рода научные направления опираются на общую идею, согласно которой модели механики сплошной среды и сопряженную им неравновесную термодинамику необходимо разрабатывать параллельно в близком соотнесении между собой. Они предполагают, что используемая модифицированная термодинамика заранее определяется гипотезой о локальном термодинамическом равновесии, но может отличаться от другой в зависимости от выбранных базисных параметров состояния, определения энтропии и потока энтропии, интерпретации второго закона и т. п.

Вместе с тем, в последнее десятилетие широкое распространение получила так называемая расширенная необратимая термодинамика, выходящая за пределы гипотезы о локальном равновесии за счет модификации таких базовых и концептуальных понятий, как энтропия, температура, давление или химический потенциал (см. Жоу, Касас-Баскес, Небом, 2006). Эта теория вводит в рассмотрение в качестве дополнительных независимых переменных диссипативные термодинамические потоки (типа потока тепла, диффузии или тензора вязких напряжений), фигурирующие в уравнениях баланса массы, импульса и энергии. Это позволяет разработать формализм для получения как определяющих соотношений для классических переменных, задаваемых обычными законами баланса, так и для нахождения соответствующих эволюционных уравнений (совместимых со вторым законом термодинамики) для диссипативных потоков, описывающих реакцию системы на воздействие высокочастотных (коротковолновых) возмущений — путем введения функций «памяти» и обобщенных коэффициентов переноса, зависящих от частоты и волнового вектора. Таким образом, среди определяющих соотношений могут быть как связи между равновесными параметрами состояния, различные уравнения состояния среды, так и соотношения между параметрами, описывающими процесс — кинетические материальные соотношения, например, эволюционные уравнения, связывающие между собой тензор напряжений и тензор скоростей деформации в вязкой жидкости. Использование подобного рода материальных соотношений позволяет получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, характеризующих модель материальной среды, а в совокупности с граничными и начальными условиями — конкретную математическую задачу в рамках данной модели.

Одним из важнейших вопросов моделирования физического явления является выбор определяющих (структурных) параметров модели, которые должны рассматриваться как независимые аргументы, изменяющиеся в некоторых пределах при рассмотрении полной совокупности всех возможных состояний и процессов в среде, для которой строится модель (Седов, 1962). Определяющие параметры могут быть скалярами и тензорами (задающими, например, соответствующие группы симметрии элементарных частиц сплошной среды), размерными и безразмерными величинами, постоянными и переменными, но в любом случае они должны быть инвариантными относительно выбора системы координат и единиц измерений. Появление разнообразных структурных параметров механической или физико-химической природы связано с количественным описанием имеющих в изучаемых явлениях существенное значение механизмов обмена энергии, диссипации энергии и других взаимодействий между частицами внутри материальных тел. Так, в случае стохастического турбулизованного движения в качестве такого рода характеристик необходимо дополнительно вводить в рассмотрение различные скалярные и тензорные корреляционные величины. Возникает вопрос — как выявить систему определяющих параметров? Это можно сделать, если, например, иметь адекватную математическую схематизацию изучаемого явления или процесса. Обычно, если замкнутая система уравнений написана, то пространство базисных независимых переменных легко выделить и перечислить. Если уравнения системы дифференциальные и их число ограничено, то для бесконечно малой жидкой частицы число определяющих параметров может быть небольшим и, уж во всяком случае, конечным.

В этой и последующих главах книги упор делается на постановках задач и конструировании континуальных эволюционных моделей природных и космических сред. Их базисом служат модели движений многокомпонентных или гетерогенных систем с учетом диффузии, теплопередачи и вязкости, процессов излучения, химических и фазовых превращений, модели различного рода турбулентных движений химически активных газов и газовзвесей, модели структурированных турбулентных течений однородной жидкости, модели турбулизованных электропроводных сред, взаимодействующих с электромагнитным полем и т. п.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >