Z-ПРЕ0БРА30ВАНИЕ

Несмотря на свою наглядность, дискретное преобразование Лапласа не получило широкого применения при исследовании САУ с АИМ. Это в первую очередь связано с тем, что изображения решетчатых функций содержат трансцендентный множитель е~п(> и соответствующие передаточные функции становятся иррациональными. Более широкое распространение получило так называемое ?-преобразование [12-14], позволяющее получить передаточные функции импульсных систем в дробнорациональной форме.

Под X-преобразованием понимают преобразование вида

или

Здесь функции Е * (?) и I7 * (?,е) можно рассматривать как главную часть ряда Лорана, коэффициенты которого равны решетчатым функциям /[п] и /[п,е].

Сравнивая формулы (8.9), (8.10) с выражениями (8.3), (8.4) можно сделать вывод о том, что X-преобразование получается из дискретного преобразования Лапласа путем замены множителя е1* на хп.

Если произвести такую замену в формуле (8.7), то можно получить формулу обращения для ?-преобразования:

где П — окружность радиуса вс. Эта формула представляет собой известное выражение коэффициентов ряда Лорана и позволяет осуществить обратное ?-преобразование.

Символически прямое и обратное Ъ-преобразование обозначаются так:

или

Все теоремы для ?-преобразования получаются из дискретного преобразования Лапласа путем простой замены переменной еч = X. Приведем некоторые из них

Теорема линейности

где A,j — коэффициенты, не зависящие от 2 и П; F*(z) изображения решетчатых функций /?[п].

Теорема запаздывания

где а — величина запаздывания (опережения) решетчатой функции f[n], F* (г) ее изображение.

Теорема смещения изображений

Теорема об изображении разностей

Для первой разности

Для второй разности Д2 / [ п ] = Д/ [ n +1] - Д/ [ п ]

Для к- й разности

Теорема о начальном значении оригинала

Теорема о конечном значении оригинала

Соответствие между изображениями F (q) непрерывных

функций f (Г) при и изображениями F * (z,e) в

области 2-преобразования для смещенных решетчатых функций f[n,e] устанавливается в табл. 8.1. Изображения F*(z) для функций /[п] можно определить, полагая 8 = 0 в изображении Здесь также оо = соТ — относительная частота.

Таблица 8.1

1

2

3

4

5

6

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >