КОНТРОЛЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ И ВЫЧИСЛЕНИЙ
Ниже приведены некоторые сведения из теории измерений, которые основаны на методах математической статистики. Математическая статистика оперирует со случайными величинами - непосредственно результатами наблюдений либо функциями результатов наблюдений (или статистиками), потому к статистическим методам обработки результатов измерений следует подходить с позиций теории вероятностей, которая изучает закономерности распределения случайных величин (событий). При этом следует иметь в виду, что основная задача обработки результатов измерений состоит в следующем: опираясь на результаты эксперимента оценить вероятность той или иной гипотезы и установить наиболее правдоподобные оценки некоторых параметров, характеризующих физический процесс (явление) и доверительные интервалы для этих оценок.
Моделирование процесса измерений
Идеальной целью измерения является определение «истинного» значения измеряемой величины, которая соответствует определению данной конкретной величины и которую выражают произведением единицы измерения на число. При этом сам процесс измерения подразумевает использование средств измерений, метода измерений (логическая последовательность операций при измерении) и методики выполнения измерений (совокупность операций, которая используется при выполнении конкретных измерений данным средством измерений и в соответствии с методом измерений). Поскольку «истинное значение» величины есть идеализированное понятие, а «идеальное измерение» практически неосуществимо, то результат измерения всегда будет отличаться от истинного значения. Поэтому под измерением в настоящее время понимают не только получение оценки значения измеряемой величины, но определение т. н. доверительного интервала, в котором это значение может находиться с заданной вероятностью.
Для характеристики отличия результата измерения от «истинного» значения используют термин «погрешность», выражает она тот очевидный факт, что для измеряемой величины и для данного результата измерений нет единственного значения, а есть бесконечное число значений, рассеянных вокруг результата, который согласуется со всеми наблюденными данными и нашим знанием физического мира. Традиционно погрешность подразделяют на две составляющие - случайную и систематическую. При этом под случайной погрешностью обычно понимают разность результата измерений X. и среднего значения X, которое могло бы быть получено при бесконечном числе повторных измерений одной и той же величины в условиях сходимости (в одинаковых условиях). А под систематической погрешностью - разность между X и «истинным» значением. При оценке погрешности измерений изначально следует исходить из того, что точное ее значение неизвестно и непознаваемо, а ее можно только оценить, исходя из оценок случайной и систематической составляющих. Понятие «погрешность» (как и «суммарная погрешность», «доверительная погрешность», «предельная погрешность») введено с целью охарактеризовать разброс значений, которые могли бы быть достаточно обоснованно приписаны измеряемой величине. Таким образом, погрешность - в расширенном толковании этого понятия - это параметр, характеризующий рассеяние значений измеряемой величины или оценка, характеризующая диапазон значений, в пределах которого с определенной степенью вероятности находится истинное значение измеряемой величины, который выражает неопределенность наших представлений о результате измерений3.
Погрешность складывается из ряда составляющих. Некоторые из них могут быть оценены по результатам статистической обработки распределений результатов повторных (контрольных) измерений, другие - по предполагаемым распределениям вероятностей, основанным на опыте или иной информации. Методы оценивания погрешности условно подразделяют на два типа: метод оценивания путем статистического анализа рядов наблюдений относят к методу оценивания по типу А, оцениванием иным способом - по типу В. Но в любом случае при оценке погрешностей использует методы теории вероятностей и математической статистики и численно характеризуют погрешность стандартным отклонением. Понятно, что оценивание стандартной погрешности переменных и параметров влияющих величин проводятся различными приемами. Причем первые из них - преимущественно по типу А (статистическими методами), а вторые - по типу В (иными).
Крайне важно при проведении измерений составить математическую модель измерения, которая включает как сами наблюдаемые величины, так и влияющие величины.
Для оценивания погрешностей измерений по типу А используют известные из теории законы распределения случайных величин.
з Г.
В нормативных документах в последнее время вместо термина «погрешность» использует термин «неопределенность».
1. В подавляющем большинстве случаев случайную величину, характеризующую результат измерений, можно аппроксимировать нормальным законом распределения или распределением Гаусса, который справедлив, если на случайную величину х влияет большое число случайных событий. Плотность нормального распределения /(*) и функция нормального распределения F(x)описывается формулами:
где
- центр положения (математическое ожидание) случайной величины;
- дисперсия, которая характеризует разброс (рассеяние) случайных величин вблизи математического ожидания. Следовательно, вероятность Р, например того, что 2 < г0
равна Руг < г0) = р(г0), а вероятность того, что 2 < д0 равна
Таблицы функции нормального распределения Р(х) приведены в приложении 2.
Распределение Гаусса является практически универсальным распределением случайных величин и при большом числе наблюдений ему следуют практически все известные законы случайных величин. В частности, распределение Пуассона, которое описывает распределение частиц при радиоактивном распаде, при большом счете частиц следует закону Гаусса с оценками математического ожидания и дисперсии, равными числу сосчитанных частиц.
Если мы имеем дело с массивом однородных случайных величин (или выборкой из генеральной совокупности) х(, г = 1,2, ..., п, где каждая
случайная величина х1 распределена по нормальному закону с матема-
тическим ожиданием ц и дисперсией <т~, то наиболее правдоподобными их /7 и <т2 будут значения, обеспечивающие максимум функции
правдоподобия
, т. е. значения, при которых производные Упо //иг равны нулю. Нетрудно убедиться, что наиболее правдоподобными оценками математического ожидания ?л и дисперсии <т2 являются среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение
Но если заменить в .г(х) // на х , то получаемая оценка дисперсии будет смещенной, поскольку в ее вычислении будет участвовать не п, а п - 1 независимая переменная, в связи с чем несмещенной оценкой дисперсии будет величина
Чтобы найти оценку дисперсии среднего х достаточно воспользоваться тем, что дисперсия произведения ах, ?)(<хх), где а - постоянная величина, равна произведению а2 на дисперсию /)(х), а дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т. е.
Примем в качестве дисперсии случайной величины х ее оценку (6.4) и по аналогии с величиной
введем т. н. ?-статистику:
Можно показать, что ?-статистика (6.5) имеет г = /7-1 степеней свободы и распределена по закону Стьюдента с плотностью вероятности
где Г(х) - гамма-функция: Г(х + 1) = хГ(х), Г(л) = (п + 1)!, а Г( 1/2) п .
Функция (6.6) задана на всей вещественной оси и ее график симметричен относительно х = 0, так что ее математическое ожидание равно нулю. Очевидно, что функция распределения Стьюдента имеет вид
Следовательно, вероятность Р, например, того, что ' < и равна Р^<^ = 8уи^ = 1-д/100, где ц - т.н. процентная точка, а вероятность
того, что равна
Процентные точки распределения Стьюдента 5), =1-
приведены в приложении 3.
- 2. При оценивании погрешностей по типу В используют весь имеющийся в наличии фонд информации, который может включать:
- • данные предварительных измерений;
- • данные, которые приведены в свидетельствах о поверке (калибровке) используемых средств измерений;
- • погрешности, которые приписаны используемым при обработке результатов измерений справочным данным.
Как правило, погрешности по данным предварительных измерений и погрешности, указанные в свидетельствах о поверке (калибровке) средств измерений обычно представляют доверительной погрешностью и выражают в виде интервала с определенным уровнем доверия - как правило, 95 %. Однако в большинстве случаев в свидетельствах о поверке приводят предельные значения основной погрешностей - либо верхними (а+ =д) и нижними (а~ =-д) значениями пределов, либо в виде интервала значений, в котором может находиться результат измерений. Поскольку в этом случае нет конкретных сведений о возможном распределении результата измерений внутри интервала, то следует предположить, что с одинаковой вероятностью этот результат может находиться в любом месте в пределах интервала, т. е. имеет место равномерное распределение случайной величины. В этом случае плотность вероятности можно описать формулой
При этом наилучшей оценкой среднего значения является математическое ожидание
которое является средней точкой интервала, а дисперсия равна
т. е. оценка дисперсии сг =Д2/3, а оценка стандартного отклонения в-А/^З.
Оценки по типу А и В были использованы при нахождении доверительных интервалов для пересчетного коэффициента при гамма- каротаже К0 и градуировочного коэффициента А для аппаратуры метода КНД-М. В частности было сказано, что для оценки доверительного 95%-го интервала для ГК используется формула
Здесь Аср математическое ожидание скорости счета в центре СО, 8“ дисперсия средней скорости счета, подсчитанные по типу А. Дисперсии влияющих на пересчетный коэффициент параметров - массовой доли урана в ГСО д и массы радия в источнике из Яа подсчитаны по типу В в предположении, что основные относительные погрешности их определения распределены по нормальному закону. Множитель 2, как следует из таблиц, приведенных в приложениях 2 и 3, соответствует доверительной вероятности 0,95.
