Обратная задача гамма-каротажа
Решение обратной задачи у-каротажа можно свести, как было показано выше, к решению относительно д(х) интегрального уравнения
первого рода, которое удобно записать в виде
где К0 - пересчетный коэффициент, численно равный интенсивности у-излучения, измеренной в бесконечной однородной среде с единичной равновесной массовой долей урана в сухой необсаженной скважине, П - поправочный коэффициент, который учитывает поправки на поглощение у-излучения обсадными трубами П0 и промывочной жидкостью Пт, - нормированная на единицу форма у-аномалии над бесконечно тонким пластом с единичным содержанием урана:
(рассчитывается в рамках лучевого приближения).
Существование и единственность решения уравнения (4.13) вытекает из того, что оператор А является положительным. Однако это уравнение относится к классу т. н. некорректных задач математической физики, т. е. таких, что незначительные отклонения и(г) от истинного могут приводить к сколь угодно большим неконтролируемым отклонениям искомого решения спектром. Такие функции однозначно представляются своими значениями в точках, отстоящих друг от друга на шаг квантования А. При этом вся вычислительная процедура сводится, таким образом, к весовому скользящему осреднению
где '-Р(щ) - преобразование Фурье функции ЧК(х), причем значения весовых множителей Вк при известной функции 'Т(ш) можно вычислить заранее. А т. к. функция т(х) нормирована на единицу, то
Описанный выше прием получения устойчивого решения относится к классу линейных и позволяет получить устойчивое решение интегрального уравнения в классе функций с ограниченным спектром, обеспечивая минимум функционала
. Но для его реализации
используются операции «сложение-вычитание», что не исключает возможность получения отрицательных и противоречащих физическому смыслу значений. Этого недостатка лишены нелинейные алгоритмы, использующие операции «умножение-деление» и реализующие итерационный процесс
Можно доказать, что этот процесс сходится и приводит к решению, которое обеспечивает минимум функционалу
