Энергетический спектр

Рассмотрим интеграл от произведения двух функций:

Этот интеграл обычно характеризует энергию сигнала. Если, например,/](/) — ток, а/2(/) — напряжение сигнала на каком-то элементе, то И/12 — энергия этого сигнала; если /,(/) и/2(/) — один и тот же сигнал (или напряжение, или ток), то И^12 равняется энергии с точностью до коэффициента пропорциональности; если/?(/) и/2(0 — разные сигналы, то У2 называют взаимной энергией.

Выразим одну из функций в (1.53), например/](/), через ее преобразование Фурье:

и подставим в (1.53), после чего входящий в состав этой формулы интеграл от/2(/) выразим через ^(оэ):

Или, иначе,

Выражение (1.54) называется равенством Парсеваля.

Особый интерес представляет случай, когда ///) = /2(/) =/(/). В этом случае равенство Парсеваля записывается в следующем виде:

где — энергетический спектр сигнала

АО-

Выражение (1.55) (его еще называют теоремой Рэлея) означает, что энергия сигнала может быть вычислена путем как интегрирования квадрата временной функции, так и квадрата модуля спектральной плотности, т.е. энергетического спектра.

Свойства энергетического спектра:

  • 1) энергетический спектр — вещественная функция;
  • 2
  • 2) энергетический спектр — четная функция частоты: 5 (-со) = = 52(со);
  • 3) энергетический спектр принимает только положительные зна-
  • 2

чения, т.е. 5 (со) > 0 при любых значениях частоты со.

Все эти свойства достаточно очевидны и не требуют доказательства. Благодаря четности энергетического спектра выражение (1.55) можно переписать в несколько ином виде:

Энергетический спектр характеризует распределение энергии сигнала по частоте. Если выделить какую-то область частот, например

от со, до оз2 (рис. 1.28), то характеризует часть энергии

сигнала, заключенную в полосе частот от со | до о)2-

В радиотехнике иногда приходится решать задачу выбора типа импульса, имеющего заданную (или минимальную) ширину спектра. При этом появляется необходимость сравнить ширину спектров различных импульсов. Первое, что приходит в голову, это сравнение ширины спектров в точке, когда спектральная плотность впервые обращается в нуль (по положению первого нуля спектральной плотности). Однако этот подход годится не для всех видов импульсов: спектральная плотность экспоненциального и гауссова импульсов вообще не обращается в нуль.

Универсальную величину, характеризующую ширину спектра для любых типов сигналов, можно ввести с помощью энергетического спектра. Такой универсальной величиной может служить эффективная ширина спектра Лсо^ф, в пределах которой заключена основная часть энергии сигнала, например 90 % (рис. 1.29):

Значения эффективной ширины спектра некоторых импульсов приведены в табл. 1.1 [6].

Сравнение ширины спектра импульсов различной формы должно производиться при одинаковой длительности импульсов. С этой целью по аналогии с эффективной шириной спектра вводится эффективная длительность импульса А/0ф, в пределах которой заключено

Энергетический спектр сигнала

Рис. 1.28. Энергетический спектр сигнала

Эффективная ширина спектра

Рис. 1.29. Эффективная ширина спектра

Таблица 1.1

Вид импульса

Л'эф

ДйЧЛ'-,ф

Экспоненциальный

6,16а

1,155/а

7,115

Прямоугольный

5,10/7;

0,9007;

4,590

Треугольный

5,30/7;

0,5417;

2,867

Косинусоидальный

4,57/7;

0,5967;

2,724

Г ауссов

1,64/т

0,825т

1,353

90 % энергии импульса. В табл. 1.1 даны значения эффективной длительности импульса, там же приведены значения произведения ДосЦфД/^ф, которое характеризует ширину спектра при одинаковой эффективной длительности импульса. Хорошо видна следующая закономерность: наибольшую ширину спектра имеют импульсы со скачкообразным изменением значения — прямоугольный и экспоненциальный. Меньшую ширину спектра имеют треугольный и косинусоидальный импульсы, у которых нет скачков функции, но есть скачки производной. И наименьшую ширину спектра имеет максимально гладкий гауссов импульс.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >