Теорема подобия.
Пусть 5(со) — спектральная плотность сигнала /(/). Сожмем сигнал/(/) во времени в т раз. При этом его спектральная плотность
Изменение спектральной плотности при сжатии импульса проиллюстрировано на рис. 1.16. Если т > 1, то график спектральной плотности расширяется в т раз и во столько же раз уменьшается по высоте. Иначе говоря, если длительность импульса уменьшается, то спектр его во столько же раз расширяется. Отсюда следует, что для формирования более короткого импульса требуются более высокочастотные составляющие.
Рис. 1.16. Импульс, сжатый во времени (я) и его спектральная плотность (б)
Рассуждая аналогично, можно сделать вывод, что уменьшение ширины спектра соответствует увеличению длительности импульса. Это происходит, например, при прохождении импульса через устройство с относительно небольшой полосой пропускания. При этом импульс сглаживается и его длительность увеличивается.
Спектральная плотность производной.
Пусть 5(ю) — спектральная плотность сигнала/(/)• Дифференцирование сигнала по времени соответствует умножению спектральной плотности на у'ю:
При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает, сигнал как бы обостряется. Соответственно модуль спектральной плотности производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению со спектральной плотностью исходного сигнала.
Формулу (1.27) можно обобщить для производной п-го порядка:
Спектральная плотность интеграла. Если функция ?(/) равна производной от функции/(/), т.е. g(t) = g(/):
Из выражения (1.27) формально следует, что спектр первообразной
На практике чаще приходится иметь дело с определенным интегралом вида
Определенный интеграл (1.30) равен разности двух значений первообразной сигнала ^(/), одно из которых вычисляется при аргументе /, а другое — при аргументе -оо. Полагая, что первообразная является абсолютно интегрируемой функцией и при значении аргумента -оо она равна нулю, получаем выражение (1.29).
Из-за наличия множителя у со в знаменателе спектральная плотность уменьшается с ростом частоты. Это обусловлено тем, что сигнал при интегрировании сглаживается и высокочастотные составляющие спектра в нем ослабляются.
Спектральная плотность свертки двух функций.
Пусть сигнал g(t) равен свертке двух сигналов/((0 и /2(0:
Спектральная плотность сигнала ?(/)
Свертка временных функций соответствует произведению их спектральных плотностей.
Спектральная плотность произведения двух функций.
Пусть 5[(о)) и .^(со) —спектральные плотности сигналов/^/) иу^(/), а сигнал g(t) равен произведению этих двух сигналов:
Спектральная плотность сигнала g(f)
Произведению временных функций соответствует свертка их спектров.
