ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЧЕНИЯ О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

Температурные поля различной формы. В процессе распространения теплоты в разных точках твердого тела, имеющих координаты х, у, г, в разные моменты времени т от начала процесса возникают различные температуры:

Выражение (1.1) является обобщенным математическим описанием пространственного (трехмерного) температурного поля. Температурное поле представляет собой совокупность значений температур в различных точках тела в данный момент времени. Конкретизация функции /8 (х, у, г, т) с учетом формы тела, его физических свойств и условий нагревания или охлаждения зачастую является самостоятельной целью теплофизического анализа. Она позволяет решать отдельные практические задачи, например устанавливать распределение температур на рабочих поверхностях деталей машин или на контактных поверхностях инструмента. При решении некоторых других практических задач описание температурного поля в твердом теле служит промежуточным этапом. Например, при определении напряжений в нагретом теле необходимо вначале описать температурное поле в нем, а затем решать задачу о температурных напряжениях.

Частным случаем трехмерного является осесимметричное поле. Представим себе, например, цилиндрическую втулку, внутреннюю поверхность которой обрабатывают дорном (рис. 1.1). Кольцевые ленточки зубьев инструмента при перемещении дорна под действием силы Р упругопластически деформируют поверхностные слои металла в отверстии втулки. Работа деформирования и трения преобразуется в теплоту, причем источники тепловыделения имеют форму колец, расположенных концентрично продольной оси 1. Естественно, что в любом сечении I—/, проведенном перпендикулярно к этой оси на расстоянии г от верхнего торца втулки, температура во всех точках металла, лежащих на любой окружности диаметром 2г (Б >- 2г ^ с1в), будет одинаковой. Следовательно, выражение Дорнование отверстия (осесимметричная задача теплообмена)

Рис. 1.1. Дорнование отверстия (осесимметричная задача теплообмена)

Рис. 1.2. Зацепление цилиндрических прямозубых колес (двумерное температурное поле)

описывает закономерности осесимметричного температурного поля.

Формула (1.1) описывает трехмерное температурное поле, поскольку температура здесь является функцией от трех координат. Однако на практике встречаются случаи, когда изменение температуры по одной из осей координат, например по оси 1,

столь незначительно, что им можно пренебречь, положив Тогда комплекс выражений

описывает двумерное температурное поле (иногда его называют плоским).

Рассмотрим, например, зацепление двух цилиндрических прямозубых колес (рис. 1.2). При нх вращении на поверхности контакта зубьев совершается работа трения, которая трансформируется в теплоту, нагревающую оба колеса. Возникает температурное поле. Пусть оба колеса имеют одинаковую ширину В, зубья одинаково хорошо прилегают друг к другу по всей этой ширине, а влияние теплоотдачи с торцов колее пренебрежимо мало. Тогда нет оснований ожидать, что температура разных точек по ширине зуба (или, что то же, по оси 02) будет различной. Поэтому температурное поле в плоскости I—/ будет таким же, как в плоскости II—II или в любой другой, перпендикулярной к оси 02. В связи в этим при расчете температур можно вместо трехмерного поля анализировать плоское, двумерное.

При описании совокупности температур в твердом теле иногда встречается такая ситуация, когда можно пренебречь изменением температуры вдоль двух осей координат (например, 02 и ОУ) по сравнению с изменением температуры по третьей координатной оси. Тогда мы получаем одномерное температурное поле

Представим себе, например, тонкий стержень (проволоку), нагреваемый с одного торца. Естественно, что наибольшее изменение температуры здесь будет иметь место в направлении продольной оси стержня, а в двух других направлениях (перпендикулярно к оси) температура в различных точках металла будет практически одинаковой.

Нестационарное, стационарное и квазистационарное поля. Выражения (1.1)—(1.4) описывают температурные поля при не- установившемся теплообмене, поскольку они отражают тот факт, что температура любой точки нагреваемого тела меняется во времени. Поле температур при неустановившемся тепловом режиме часто называют нестационарным. В принципе, как известно, в природе нет застывших процессов, материя движется, что является ее основным свойством. Поэтому любой процесс, в том числе и процесс распространения теплоты, постоянно меняется во времени. Однако в ряде случаев температура различных точек или участков твердого тела в течение некоторого достаточно большого промежутка времени меняется столь незначительно, что этим изменением в практических целях можно пренебречь, положив

Выражения

представляют собой описание стационарного трехмерного температурного поля, т. е. поля при установившемся теплообмене. Аналогичные выражения можно написать для стационарного двумерного или одномерного полей.

Все тепловые процесы в технологических подсистемах начинаются с нестационарного теплообмена. Однако значительная тые доли секунды) после начала резания. Температура в подшипниковых узлах металлорежущих станков стабилизируется в среднем через несколько минут после начала работы. Стабилизация теплового режима станка в целом происходит в течение десятков минут, а в некоторых случаях и через несколько часов.

часть из них через некоторый промежуток времени приобретает признаки стационарного состояния. Длительность периода нестационарного теплообмена зависит от конкретных условий нагрева и охлаждения компонентов технологической подсистемы. Например, стационарный теплообмен на контактных поверхностях режущего инструмента устанавливается, как правило, через несколько секунд (а иногда и деся-

Иллюстрация понятия квазистационар ного поля

Рис. 1.3. Иллюстрация понятия квазистационар ного поля

Достижение и поддержание стационарного теплообмена имеет большое практическое значение, поскольку в технологических системах (подсистемах) при стационарном теплообмене стабилизируются погрешности, зависящие от температур, при этом повышаются точность и качество продукции. Не случайно в цехах, где происходит сборка особо точных станков (координатно-расточных, шлифовальных) или изготовление измерительных приборов, с помощью специальных термоконстантирующих систем поддерживается постоянная температура воздуха, что содействует стабилизации тепловой обстановки на отдельных рабочих местах.

При анализе процесса распространения теплоты в твердых телах от движущихся источников часто пользуются так называемым квазисгпационарным. температурным полем. Приставка «квази» означает «как бы». Следовательно, мы имеем дело с как бы стационарными полями, хотя по сути они таковыми не являются. Понятие «квазистационарное температурное поле» поясним, пользуясь конкретным примером. Пусть по поверхности массивного тела (рис. 1.3) со скоростью v движется источник теплоты J. Рассмотрим температуру 9М в точке Ai, которая в неподвижной системе координат XOY, связанной с нагреваемым телом, имеет абсциссу х = I. По мере того как источник J, двигаясь справа налево из исходного положения /.будет приближаться к точке М, ее температура будет возрастать. Затем во время движения источника J над точкой М ее температура, продолжая возрастать, в положении II достигнет некоторого максимума. В дальнейшем по мере удаления источника влево, например в положение III, температура 0М будет уменьшаться. Таким образом, в неподвижной системе координат XOY температура в точке, имеющей абсциссу х = /, является функцией времени (положения источника), следовательно, процесс является нестационарным, т. е.

Теперь свяжем систему координат Х101У'1 с движущимся источником и вновь рассмотрим температуру 0М1 в точке Мх, имеющей абсциссу хх = /, но уже в подвижной системе координат. По мере движения источника абсциссу хх = I в подвижной системе координат будут иметь различные точки тела, например точки Л/, М, К, 5 и др. Каждая из них, придя в положение хх — I, будет иметь одну и ту же температуру 0^. Следовательно, в подвижной системе координат температура точки, имеющей абсциссу хх = I,

не меняется во времени, т. е. . Выходит, что температурное поле в движущейся системе координат, связанной с источником теплоты, оказывается якобы стационарным, квазистацио- нарным; оно, не меняясь, перемещается вместе с источником.

Применяя понятие о квазистационарных полях, удачно выбрав при этом систему координат, можно существенно облегчить анализ и математическое описание тепловых процессов в подсистемах, содержащих движущиеся источники или стоки теплоты.

Изотермические поверхности, градиент температуры. В любом нагреваемом (охлаждаемом) теле всегда есть точки, имеющие одинаковую температуру. Соединив их, получим семейство изотермических поверхностей, т. е. семейство поверхностей равных температур. Эти поверхности, естественно, не могут пересекаться. Сечение изотермических поверхностей плоскостью позволяет получить семейство линий равных температур (изотерм). Изотермы используют обычно для изображения температурных полей в различных твердых телах. В качестве примера приведем температурное поле корпуса координатно-расточного станка (рис. 1.4). Оно построено на основании экспериментов [33] по измерению температур на холостом ходу станка. Источниками теплообразования являлись механизмы шпиндельной бабки и двигатель привода главного движения, размещенный внутри стойки (он показан на рис. 1.4 штриховыми линиями). Несмотря на то, что температуры, обозначенные на изотермах, мало отличаются от температуры окружающей среды (20 °С), они вызывают термоупругие перемещения, в частности смещение оси шпинделя относительно того, которое она занимает в неработающем станке. Заметим, что линейное смещение оси шпинделя (а значит, и расточного инструмента) в горизонтальной плоскости в рассматриваемом примере достигало 0,02 мм, что вносило погрешности, сопоставимые с допусками на точные изделия, обрабатываемые на этом станке. Приведенный выше пример не только показывает, какую сложную форму могут иметь температурные поля в компонентах технологических подсистем, но и подчеркивает значение анализа и учета влияния этих полей в машиностроительном производстве.

Рис. 1.4. Температурное поле в кор пусе координатно-расточного станка

Рис. 1.5. Семейство изотерм на пло- скости (к понятию градиента температуры)

Цифры у изотерм на рис. 1.4 показывают фактическую температуру. В технологической теплофизике, однако, для удобства расчетов оперируют избыточными температурами, отсчитываемыми от некоторого условного нуля. Часто за начало отсчета принимают температуру окружающей среды 90 = 20 °С. Поэтому если бы мы хотели перейти к избыточным температурам, то на изотермах следовало бы поставить значения от 0 до 8 °С.

В дальнейшем, если специально не оговорено, следует понимать, что речь идет об избыточных температурах, и для определении фактического значения температуры к результатам расчета надо добавлять 20 °С.

Во многих случаях важно не только описать температурное поле, но и оценить изменение температур по тому или иному направлению (по длине инструмента, в глубь заготовки и т. д.). Эта оценка выполняется с помощью градиента температуры. Грудиентом. температуры называют вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный изменению температуры на единице длины этой нормали.

Рассмотрим семейство изотерм, отличающихся друг от друга значениями температур на величину А0 (рис. 1.5). Предел

где Ап — расстояние, измеренное по нормали в данной точке к изотерме с меньшим значением температуры, представляет собой численное значение градиента. Обозначая 1„ единичный вектор, перпендикулярный к изотермической поверхности, запишем

Как всякий вектор, градиент может быть спроектирован на оси координат. Тогда численные значения этих проекций будут

соответственно , если температурное поле описывается выражением (1.1). Когда требуется определить изменение, например, температуры Л0Х на каком-либо участке длиной Ах, то его рассчитывают по формуле

поскольку представляет собой изменение температуры на единице длины.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >