Оптимизация портфеля, состоящего из двух ценных бумаг

Как было показано ранее, доходность и среднеквадратичное отклонение портфеля, состоящего из двух активов, определяется следующими соотношениями:

Рассмотрим задачу определения структуры портфеля, обеспечивающего минимальный уровень риска. Обозначим: У — доля актива X в портфеле, тогда Ц — IV) будет доля актива У. С учетом этого формула для стандартного отклонения портфеля будет иметь вид

При заданных значениях <з_х, а,, и СЯ_ху величина стандартного отклонения портфеля о_р является функцией IV. Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю ее первой производной. Продифференцируем данную функция по переменной IV и приравняем первую производную к нулю:

Изданного выражения получаем:

Полученное выражение позволяет определить удельный вес активов в портфеле, обеспечивающий минимальный риск.

Рассмотрим ряд частных случаев.

1. Между активами имеет место наибольшая отрицательная ковариация, т.е. СЯ_ху = — 1.

Выражение для удельного веса актива X в этом случае будет иметь вид

Для нахождения среднеквадратичного отклонения портфеля необходимо подставить полученные выражения для удельных весов активов в исходное выражение для а_р:

Таким образом, при абсолютной отрицательной ковариации между активами можно определить такие их удельные веса, что риск портфеля будет равен нулю.

2. Ковариация активов, равная нулю, т.е. СЛ - 0. Подставляя в выражение

СК_ху = 0, получим:

Риск портфеля в этом случае будет равен:

3. Случай полной положительной ковариации активов X и У. Подставим в выражение

СЯ_ху = 1, получим:

Минимальный риск портфеля в этом случае достигается при отрицательном удельном весе одного из активов в портфеле.

Пример. Рассмотрим две ценные бумаги — Xи У. Их среднемесячная доходность представлена в табл. 6.6.

Табл и на 6.6

Показатели доходности ценных бумаг

Средняя доходность активов X и У будет равна:

Среднеквадратичное отклонение доходности ценных бумаг и коэффициент корреляции равны:

Доходность и риск портфеля в зависимости от вариантов сто формирования представлены в табл. 6.7.

Таблица 6.7

Варианты портфелей ценных бумаг Хн У