Вычисление погрешности измерений

По способу нахождения числового значения измеряемой величины у измерения подразделяются па прямые, косвенные, совместные и совокупные:

  • • при прямых измерениях искомая величина у равна опытному значению х, т.е. у = х;
  • • при косвенных измерениях величину у находят на основании имеющейся математической зависимости от наблюдаемых опытных значений Х|,х2, ..., х, т.е. у =/(х], х2, ..., х);
  • • при совместных измерениях одновременно измеряют несколько неодноименных величин для нахождения зависимости между ними;
  • • при совокупных измерениях измеряют несколько одноименных величинУ,У2, которые находят в результате решения системы

уравнений:

гдеу],у2, — измеряемые величины; а,, — величины, определяемые путем прямых измерений; /г,, — постоянные величины.

При совместных и совокупных измерениях число уравнений обычно больше, чем число искомых величин, т.е. т > п. Тогда систему уравнений решают методом наименьших квадратов.

Примером совместных измерений может служить измерение сопротивления изоляции в зависимости от температуры.

Рассмотрим вычисление погрешности измерений при прямых измерениях.

На практике наиболее часто встречается нормальный закон распределения погрешностей, для которого плотность вероятностей р(А) выражается зависимостью

где Аа — математическое ожидание А.

В соответствии с (12.2) вероятность попадания погрешности интервал (-Д,; Д-,)

где

Функция Ф(г) называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей (см. прил. табл. П4).

Обычно принимают границы доверительного интервала Д| = Д2, тогда

Для Д|/ст = 3 значение Ф равно 0,997. Таким образом, при нормальном законе распределения вероятность того, что погрешность однократного измерения превысит по абсолютному значению Зо будет не больше 0,3 %. Этой вероятностью часто пренебрегают и называют величину Зет максимально возможной погрешностью.

Формулы, аналогичные (12.14)—(12.15), можно записать и для самой измеряемой величины х (вместо Д будет х, вместо Дсрхср величины Д2 и Д( будут отклонениями величины х от математического ожидания).

Обычно доверительную вероятность Рд принимают равной 0,95. В ответственных случаях принимают Рд равной 0,99 или еще больше приближающейся к единице. Величину а = 1 - Рд называют уровнем значимости.

Если задано значение Рд то из (12.16) по таблице функции Ф можно найти интервал для погрешности Д|, в который попадают все измерения с вероятностью Р , но при этом должно быть известно среднеквадратическое отклонение для нормального закона распределения, которому подчиняется данная совокупность измерений.

Для уменьшения интервала случайных погрешностей по (12.8) вычисляют среднее значение х из п измерений. Среднеквадратическое отклонение для среднего значения вычисляется по (12.10). Тогда доверительный интервал для среднего значения вычисляют по формуле

где /р является функцией от Рд и определяется по таблицам функции Ф ( — функция, обратная Ф);

На основании экспериментальных данных из п измерений по (12.9) определяют значение .9, которое является лишь приближенной оценкой о. В этом случае коэффициент 1(РД, п) является функцией Рд и числа измерений п и выбирается по таблицам Стыодента (см. прил. табл. Г11). При увеличении п этот коэффициент стремится к значению, определяемому по интегралу вероятностей Ф.

При увеличении числа измерений вероятность распределения случайной величины хср стремится к нормальному закону распределения. Если п = 5 ч-10 или более, то для хср предполагается нормальный закон распределения. Методы проверки этой гипотезы показаны ниже.

В практике измерений встречаются и другие законы распределения. Для равномерного распределения функция плотности вероятности распределения измерения величины х имеет вид

При этом плотность вероятности р(х) постоянна в интервале между и *2 и равна нулю за пределами этого интервала. Примерами случайной погрешности, имеющей равномерное распределение, является погрешность отсчета по шкале прибора и погрешность квантования измеряемой величины по уровню в цифровых измерительных приборах. Обычно равномерное распределение в пределах допускаемых границ принимают для погрешности измерительного прибора. Иногда равномерное распределение принимают в тех случаях, когда закон распределения неизвестен.

Дисперсия равномерного распределения

где

Вероятность попадания в интервал А - х -1с равна Д/Дм. Если закон распределения неизвестен, то при Д2 = Д[ по неравенству Чебышева можно получить

Полагая, например, Д равным За, получим, что Рд превышает 0,9. Неравенство (12.20) дает грубую оценку величины Рд снизу. Например, как уже отмечалось, для нормального закона распределения при Д = За значение Рд составляет 0,997.

Остановимся на способе исключения из результатов измерения грубых погрешностей. При этом принимается гипотеза о нормальном законе распределения величины х. Необходимо вычислить хср и .V по (12.8) и (12.9). Затем для наибольших отклонений измерений от среднего значения вычислить относительное отклонение

Далее необходимо выбрать уровень значимости (обычно а = = 2,5 ч-10 %) и по табл. ПЗ прил. найти значение /кр, отвечающее данным а и п. Если I > /кр, то данное измерение можно отбросить. С уменьшением а растет /кр и условие I > ?кр выполняется труднее. После того как грубые ошибки будут отброшены, статистическую обработку оставшихся результатов измерений производят снова обычным порядком.

Последовательность операций при обработке данных можно определить следующим образом:

  • • наблюдают величины х = х(-;
  • • исключают систематическую погрешность, и дальнейшие операции производят с исправленными значениями х(-;
  • • находят х-п и х по (12.8) и (12.9);
  • • исключают грубые ошибки;
  • • снова вычисляют х и х;
  • • производят оценку закона распределения вероятностей;
  • • по заданной доверительной вероятности Рд находят доверительный интервал е = Д|. Если принят нормальный закон распределения, то с вычисляется по (12.17). При других законах распределения коэффициент 1р вычисляется для соответствующего закона распределения.

При достаточно большом числе измерений коэффициент Стыо- дента стремится к коэффициенту Гр, получаемому по интегралу вероятностей Ф (например, при Рд = 0,95 разница между 1р несущественна при п > 15). На рис. 12.2 показаны зависимости коэффициента Гр от Рд равномерного закона распределения (кривая 1) и для нормального закона распределения (кривая 2). Следует отметить, что для большинства других законов распределения (треугольного, трапециевидного и др.) кривая Гр =/(Р ) расположена между кривыми 1 и 2. Поэтому для приближенной оценки коэффициента ГР можно использовать кривую 3.

При косвенных измерениях необходимое значение у вычисляют по результатам непосредственных измерений Х], х2, Кривые для определения коэффициента Гр при расчете доверительного интервала

Рис. 12.2. Кривые для определения коэффициента Гр при расчете доверительного интервала

Оценка среднеквадратического отклонения для величины у

где — оценка среднеквадратического отклонения величины х(, получаемой методом непосредственного наблюдения; рк/ — оценка коэффициента корреляции между случайными погрешностями аргументов хк и Х/(к Ф I);

хк ср и х/ср — средние значения из п проведенных измерений;

коэффициенты влияния; — частные погрешности.

Погрешности разделяют на сильно коррелированные (| р| = 1 ч-0,7) и слабо коррелированные (р = 0-н0,7). На практике для сильно коррелированных зависимостей принимается р = ±1, а для слабо коррелированных р = 0.

Зависимые погрешности обычно обусловлены одной общей причиной. Например, если в измерительном устройстве имеется ряд измерительных усилителей, подсоединенных к общему источнику питания, то при уменьшении напряжения коэффициенты усиления всех усилителей будут уменьшаться. Возникающие при этом погрешности отдельных усилителей будут сильно коррелированными (р = 1).

Если р = ±1, то два слагаемых для к и I под корнем в (12.22) объединяются в одно:

Из этого следует, что сильно коррелированные частные погрешности необходимо сначала сложить алгебраически, а затем уже сумму включить в общую формулу для оценки х.

Если принимать для слабо коррелированных погрешностей р = 0, то из (12.22) следует

В (12.23) сильно коррелированные частные погрешности предварительно просуммированы алгебраически, и уже их суммы вошли

как отдельные величины . При этом общее количество слагаемых уменьшилось, т.е. /и, < т (см. систему уравнений совокупных измерений).

Доверительный интервал погрешности е определяется по формуле, аналогичной (12.17):

Закон распределения оценки е, вычисленной по (12.23), является композицией законов распределения измерений отдельных величин х в (12.21). Эта композиция зависит также от соотношения величин слагаемых частных погрешностей в (12.23). Если слагаемых больше, чем пять, то закон распределения погрешностей у близок к нормальному, и коэффициент определяется для нормального закона распределения. В общем случае приближенную оценку 1Р можно произвести по рис. 12.2. Для более точных вычислений необходим обширный статистический анализ.

В § 12.1 было показано, что систематическая погрешность, вычисленная по (12.7), является случайной и имеет свое значение среднеквадратического отклонения.

Если систематическая погрешность не учтена, то интервал суммарной погрешности составит При учете систематической погрешности этот интервал составит Следовательно, поправку целесообразно вводить, если

где ст(х) — среднеквадратическое отклонение измеряемой величины х; <т(Дс) — среднеквадратическое отклонение систематической погрешности Дс. Коэффициенты 1р и 1р] выбирают при одинаковом значении доверительной вероятности в соответствии с законами распределения величии х и (х - Дс). Следовательно, вводить поправку на систематическую погрешность не всегда целесообразно.

Для обнаружения, оценки и исключения систематических погрешностей требуется тщательное изучение конкретных применяемых методов, средств и условий измерения.

Систематическая погрешность может быть определена путем применения более точного метода и средств измерения и будет равна Дс = хср - хТ, где л:т — результат точного измерения.

Оценку систематической погрешности можно произвести расчетным путем. Например, если измеряют вольтметром напряжение между двумя точками в электрической цепи, то влияние входного сопротивления вольтметра на напряжение при подключении вольтметра можно учесть расчетным путем. Разность напряжений без вольтметра и с вольтметром будет систематической погрешностью.

После анализа методов измерений, возможного влияния различных внешних факторов можно исключить систематические погрешности либо техническим совершенствованием установки, либо применением специальных приемов измерения.

Систематическую погрешность можно определить, если в качестве измеряемого значения использовать точную меру, например с помощью моста измерить емкость эталонного конденсатора. Тогда разность измеряемого значения и значения меры будет равна систематической погрешности.

После исключения ряда систематических погрешностей и получения исправленного значения х остаются неисключенные систематические погрешности, которые по ряду причин рассматриваются как случайные величины, подчиняющиеся своим законам распределения и имеющие свои границы интервалов. Если известны границы систематической погрешности и нет оснований для конкретной оценки закона распределения, то обычно принимается равномерное распределение, для которого используется (12.19).

Оценки среднеквадратического отклонения случайных погрешностей должны быть учтены в качестве слагаемых в (12.22). Если производятся прямые измерения (у = х), то в этой формуле одно слагаемое будет учитывать случайные погрешности, а другие — систематические.

Если известны только границы отдельных неисключеиных систематических погрешностей 0(, а распределение предполагается равномерным, то границы неисключеиной систематической погрешности при т > 4 рекомендуется вычислять по формуле

При доверительных вероятностях 0,9; 0,95; 0,99 коэффициент к соответственно равен 0,95; 1,1; 1,4.

Далее все операции производятся с исправленными величинами измерений х(- после введения поправки на систематическую погрешность. Результаты, имеющие грубые погрешности, исключают из дальнейшего рассмотрения.

Величины хср и 5 вычисляют по (12.8) и (12.9). Доверительный интервал определяется по (12.24) или по критерию Стыодента.

Если то величиной 0 пренебрегают, если , то пренебрегают величиной и тогда погрешности определяются только неучтенными систематическими погрешностями. В остальных случаях погрешность вычисляют по формуле

где

В этом случае доверительная вероятность принимается равной 0,95. В некоторых случаях допускается применение Рд = 0,99 и в особых случаях Рл > 0,99.

Возможность применения нормального закона распределения должна быть специально определена. При числе измерений п < 15 проверка не производится. Подтверждение правомерности нормального закона распределения должно быть проверено по другим источникам.

При п > 15 рекомендуют различные способы проверки гипотезы о нормальном законе распределения. Методы проверки гипотезы о законах распределения описаны в специальной литературе [36].

При оценивании погрешности измерений по однократным измерениям, выполненным измерительными приборами, имеющими пределы допускаемой погрешности Д-, границы погрешностей рассчитывают по (12.26).

Необходимо отметить, если относительная погрешность разности двух измеренных величин хк - X/ возрастает неограниченно, то эта разность стремится к нулю. Если разность величин входит в (12.24), то необходимо следить, чтобы эти разности не были малыми. Для уменьшения погрешностей косвенных измерений целесообразно разрабатывать такие методы и СИз, которые обеспечивали бы прямые измерения вместо косвенных.

В качестве показателей точности установлены:

  • • интервалы, в которых с заданной вероятностью находится суммарная вероятность погрешности измерения Д или ее систематическая составляющая Дс;
  • • оценки среднеквадратического значения случайной .у' и систематической ,ус составляющих погрешностей;
  • • плотность распределения систематической или случайной составляющей погрешности /ДДС) или р(А').

Наиболее, распространены технические измерения, которые выполняются однократно. Их погрешность определяется погрешностью СИз, которая известна из нормативно-технической документации. Результат измерения и погрешность записывают в виде предела допускаемой суммарной погрешности. Вероятность попадания в этот интервал считается равной 0,997.

Погрешность в окончательной записи принято выражать числом — с одной или максимум двумя значащими цифрами. Две цифры берут при точном оценивании погрешностей, а также, если цифра старшего порядка разряда числа, выражающего погрешность, равна трем или меньше трех (0,27; 0,6). Числовое значение результата измерения должно быть представлено с учетом погрешности. Младший разряд результата должен соответствовать разряду погрешности.

Погрешности СИз складываются из аддитивной и мультипликативной составляющих погрешности. Абсолютные аддитивные погрешности не зависят от значения измеряемой величины х, а мультипликативные — прямо пропорциональны х. Предельные значения относительной погрешности СИз, выраженные в процентах, представляют в виде

где хб — больший (по модулю) из пределов измерений, т.е. конечное значение диапазона измерений; с и с1 — положительные постоянные числа.

Например, для прибора класса точности 0,1/0,05 значение

. К приборам, класс точности которых выражается дробно, относятся цифровые показывающие приборы и приборы сравнения с ручным и автоматическим уравновешиванием. В большинстве аналоговых показывающих приборов погрешность характеризуется только одним числом, учитывающим аддитивную погрешность.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >