Лекция 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Постановка задачи Коши

Обыкновенные дифференциальные уравнения занимают видное место в науке, в особенности в ее естественно-научных областях. Они широко используются в механике при расчете различного рода движений, в других разделах физики, например, при расчетах электрических цепей, в химической кинетике при анализе баланса реагентов, в популяционной биологии (модели типа хищник-жертва), в экономике, политике и во множестве других приложений. Ряд важных задач математической физики, описываемых на языке уравнений в частных производных, допускают в ряде случаев сведение к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (например, автомодельные решения). В общем и целом обыкновенные дифференциальные уравнения являются одним из самых востребованных инструментов описания и расчета самых разнообразных явлений и процессов в науке, технике и обществоведении.

Конкретная прикладная задача может сводиться к решению произвольного дифференциального уравнения произвольного порядка или к произвольной системе дифференциальных уравнений. При этом известно, что произвольное дифференциальное уравнений р-го порядка

при помощи замены и1к> к(х) можно свести к системе р уравнений 1-го порядка:

где U0(x) = u(X) . Используя алгоритм перехода от (8.1) к (8.2), можно любую систему любого порядка свести к системе уравнений 1-го порядка. Поэтому в дальнейшем будем в основном работать с системой уравнений 1-го порядка следующего вида:

которую также будем записывать в сокращенной векторной форме

Известно, что система уравнений (8.3), (8.3') имеет множество решений, которые в общем случае зависят от р параметров С = (Cj, ..., Ср), что можно записать в виде: и = и(х,с). Для выделения единственного решения необходимо наложить р дополнительных условий.

Различают три типа задач для систем дифференциальных уравнений:

  • • задачи Коши;
  • • краевые задачи;
  • • задачи на собственные значения.

Задача Коши (или задача с начальными данными) предполагает дополнительные условия вида:

т. е. в точке Хо задаются значения всех функций системы уравнений (8.3). Условие (8.4) можно истолковать как задание начальной точки (x0,u01,...,u0 р)

искомой интегральной кривой в р+1-мерном пространстве (x,u,,...,up) . Решение системы уравнений (8.3) обычно требуется найти на отрезке [ХоД] (или на отрезке [Х,Хо]).

Из курса дифференциальных уравнений известно, что если правые части системы (8.3) непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по переменным Uk, k = 1, ..., п, то решение задачи Коши (8.3), (8.4) единственно и непрерывно зависит от координат начальной точки, т. е. задача корректно поставлена. Если правые части имеют непрерывные производные по всем аргументам до q-го порядка, то решение и = и(х) имеют производные вплоть до порядка q +1.

Методы решения дифференциальных уравнений можно классифицировать на точные, приближенные и численные.

Точные методы позволяют выразить решения дифференциальных уравнений либо через элементарные функции, либо с помощью квадратур от элементарных функций. Точные методы решения уравнений (8.3), (8.4) изучаются в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений.

В листинге 8.1 приведен код программы, иллюстрирующий использование специальной функции dsolve в MATLAB, которая точно решает обыкновенные дифференциальные уравнения произвольного порядка.

Листинг 8.1

“/стримеры аналитического решения обыкновенных “/«дифференциальных уравнений с помощью функции

%МА Т L А В - dsolve “/«пример № 1 (U 1 = a U ) е х р I 1=d s о I v е (' Du=a*u' , ' х' )

“/опример № 2 ( U1 =UA2)

е х р I 2 =d s о I v е (' 0и=ил2' , ' х' )

“/опример № 3 ( U' 1 - g = 0 )

е х р I 3 =d s о I v е (' D2 u - g =0' , ' х' ) “/опример №4 ( u' ' +qA2u=0)

е х р I 4 =d s о I v е ( ' D2u+q/42*u=0' , ' х' )

%пример № 5 ( U" - ( 3/ 4) хл( - 2) и =0) е х р I 5 =d s о I v е ( ' D2u - ( 3/4) *хл( - 2) *и=0' , ' х‘ )

%пример № 6 (и' =f(X))

е х р I б =d s о I v е (' Du=f (х)' , 1 х' )

%пример № 7 ( U ' =( UX ) /( U +Х ) ) ех рI 7 =ds о I vе(' Du =( и-х) / (и +х)' , ' х' )

После запуска на исполнение кода программы листинга 8.1, получим следующую информацию:

е х р I 1 =

С1* ехр(а* х) е х р I 2 =

- 1/ (х-С1)

е х р I 3 =

1/2*д*хЛ2+С1*х+С2 е х р I 4 =

Cl*sin(q*x)+C2*cos(q*x) е х р I 5 =

С1/ хЛ( 1/2) +С2* х л( 3/2) е х р I 6 =

I nt(f (х), х) +С1

Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned.

> In dsolve at 310

In о d e _ a n a I at 17 expl 7 =

- 1/24 оg( (хл2+ил2) / хл2) - at an( и/x) -1 og( x) - Cl = 0

Согласно информации представленной выше, MATLAB решил все семь дифференциальных уравнений, при этом последнее уравнение он не смог разрешить относительно зависимой переменной и, о чем и доложил.

Приближенными будем называть методы, в которых решение и(х) получается как предел некоторой последовательности ил(х), при этом Un(x) выражаются либо в аналитическом виде с помощью элементарных функций, либо с помощью квадратур от элементарных функций.

Численные методы представляют собой алгоритмы вычисления приближенных значений искомой функции и(х) в узлах некоторой сетки значений аргумента Xj, ..., Х„. Основным недостатком численных методов является то, что они позволяют найти частное решение, например решение задачи Коши, но нс общее решение и = и(х,с) уравнения (8.3). Этот недостаток компенсируется тем, что численные методы универсальны и могут быть использованы для решения широкого класса дифференциальных уравнений.

Численные методы могут быть использованы только для задач, решение которых существует и единственно, т. е. если задача корректно поставлена. Однако условие корректности необходимо, но не достаточно для численного решения задачи. Необходимо еще, чтобы задача была хорошо обусловлена, т. е. малые шевеления в начальных (входных) данных приводили к малым изменениям в решениях. Если это условие не выполнено, то считается, что задача плохо обусловлена (слабо устойчива), т. е. небольшие погрешности входных данных или метода могут сильно исказить решение.

Приведем простой пример плохо обусловленной задачи. Необходимо численно найти решение следующей задачи:

Задача (8.5) имеет точное общее решение: U = и0в' и частное U = О, входным значением для задачи является параметр До- Плохая обусловленность задачи (8.5) выражается в том, что если пошевелить входной параметр и о, например, сделать его равным не нулю, а 1СГ°, то решение в точке 100 сильно изменится, т. е. и(100) = 2,688-1037.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >