Матрицы связи и действия над ними (выявление логических контуров и общей последовательности развития содержания)

Матрица связи

Рис. 3.3. Матрица связи

Матрицы в математике представляют собой систему элементов, записанных в виде прямоугольной таблицы (рис. 3.3).

В этой таблице п — число строк в матрице, т — число столбцов. Будем рассматривать только квадратные матрицы, т. е. такие, в которых т = п.

Граф можно задать в виде матрицы связи, если считать, во-первых, что число строк и столбцов в ней равно числу вершин графа и, во-вторых, что элемент матрицы ап равен числу дуг, идущих из соответствующей вершины.

При анализе структур учебных курсов две вершины графа, как правило, связаны между собой лишь одной стрелкой. Поэтому элемент матрицы ап может принимать значение 1, если между соответствующими элементами есть связь, или 0, если такой связи нет. Графы Г( и Г2 могут быть изображены с помощью матриц связи А! и А2 (рис. 3.4).

Матрицы А и А, отражающие графы и Г

Рис. 3.4. Матрицы А1 и А2, отражающие графы и Г2

Цифры, стоящие сверху и справа матрицы, указывают номера вершин графа. Цифры в строках матрицы - номера связываемых вершин. Так, в первой строке матрицы А, на пересечении ее со вторым столбцом стоит цифра 1. Это означает, что первая вершина связана со второй вершиной. При этом важно, что дуга начинается в вершине 1, а заканчивается в вершине 2. Во второй строке, на пересечении ее с третьим и четвертым столбцами, стоят цифры 1. Это означает, что дуги начинаются в вершине 2, а заканчивается в вершинах 3 и 4 (см. граф на рис. 3.1).

Матрица А, отражает 1раф Г2, показывающий идеальный путь развития содержания. Каждый последующий элемент связан только с предыдущим. Поэтому [1]

единицы в матрице, показывающие связи между вершинами графа, стоят но диагонали (см. рис. 3.2).

Матрица А, полученная путем преобразования матрицы А

Рис. 3.5. Матрица А3, полученная путем преобразования матрицы А1

Рассмотрим теперь, как с помощью матрицы можно обнаружить логические контуры в графе. Обратимся к матрице А! (рис. 3.4). Единицы, стоящие в строке, указывают на те элементы содержания, для вывода которых необходимо использовать понятие, имеющее номер данной строки. Если в строке стоят одни нули, то это означает, что данное понятие при выводе других элементов содержания не используется. На графе из данной вершины не выходят дуги и, следовательно, логический контур через эту вершину проходить не может. Такие понятия и соответствующие им вершины графа можно удалить. В матрице А| строк, не имеющих единиц, две. Это пятая и седьмая строки. Вычеркиваем их и соответствующие им столбцы. Обращаем внимание на то, что в процессе вычеркивания новые строки оказываются с одними нулями. Например, третья строка. Вычеркиваем и ее. Получаем матрицу А, (рис. 3.5).

В матрице А3 нет строк с одними нулями, следовательно в графе отсутствуют вершины, из которых бы не выходили дуги (рис. 3.6. Граф Г,).

Рассмотрим теперь столбцы, состоящие из одних нулей.

На графе эго означает, что ни одна дуга в данной вершине Рис. 3.6. Граф Г, п

f з не заканчивается. Понятно, что контур не может проходить

через данную вершину. В матрице А3 находим, что столбец 1 состоит из нулей. Вычеркиваем его и соответствующую строку матрицы А3. Получаем матрицу А4, в которой отсутствуют строки и столбцы, состоящие из нулей. Этой матрице соответствует граф Г4 (рис. 3.7).

В 1рафе остаются лишь дуги (2, 4), (4, 6) и (6, 2). Следовательно, контур проходит через вершины 2, 4, 6.

Чтобы определить последовательность изучения этих понятий, необходим их методический анализ, а также учет логики развития содержания в курсе.

Матрица А и Граф Г

Рис. 3.7. Матрица А4 и Граф Г4

В результате можно установить, какую связь лучше удалить. Предположим, что после методического анализа установлено, что следует удалить связь (6, 2). В графе Г4 удаляем дугу (6, 2). Получим граф Г5, у которого отсутствует эта связь. Матрицу такого графа обозначим А5 (рис. 3.8).

Граф Г и соответствующая ему матрица А

Рис. 3.8. Граф Г5 и соответствующая ему матрица А5

Теперь, когда контур в графе удален, следует вернуться к первоначальной матрице Ар удалить в ней связь (6, 2) и определить последовательность изучения анализируемых фрагментов содержания.

Теперь проведем действия над матрицей А6. Для определения последовательности изучения данного фрагмента курса будем последовательно вычеркивать столбцы, состоящие из нулей. Ранее мы указывали, что присутствие одних нулей в столбце означает, что данный элемент содержания не опирается при изучении на другие, т. е. с него можно начинать изучение всего анализируемого фрагмента курса. При вычеркивании первого такого столбца и соответствующей строки появляется следующий столбец, состоящий из нулей, и т. д. Последовательность вычеркивания столбцов и будет определяемой последовательностью изучения данного фрагмента.

В матрице А6 первый столбец состоит из одних нулей. Вычеркиваем его и соответствующую строку, получаем матрицу А7 (см. рис. 3.9). Действуя таким образом, получим последовательность 1, 2, 3, 5, 4, 6, 7.

Первоначальная матрица с удаленной связью (6, 2)

Рис. 3.9. Первоначальная матрица с удаленной связью (6, 2)

После вычеркивания 2-го столбца и строки получается матрица, в которой несколько столбцов имеют нули. Можно выбрать любой путь, так как и третий, и четвертый элементы содержания опираются на 2. Условно можно выбрать 3-й элемент. Понятно, что тогда за ним будет опирающийся на него 5-й элемент. Затем последуют 4-й и 6-й элементы. Последним будет 7-й элемент, не опирающийся ни на один элемент.

  • [1] Кроме математических матриц, рассматриваемых в параграфе, для анализа логичности нередко используются матрицы Томаса-Девиса. См. Томас К. и др. Перспективы программированного обучения. Руководство для составления программ. / Под ред. А. В. Нетуишла. —М.: Мир, 1966.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >