Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Информатика arrow Информатика 2015

2.3. Арифметические основы работы ЭВМ

В бинарной системе счёт ведут не по пальцам, а по кулакам.

NN

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения.

Таблица 1

Сложение

Вычитание

Умножение

0+0=0

0-0=0

0x0=0

0 + 1=1

1-0=1

0x1=0

1+0=1

1-1=0

1x0=0

1+1=10

10-1=1

1x1=1

Правила арифметики во всех позиционных СС аналогичны. В двоичной СС арифметическое сложение происходит по правилу сложения но модулю два с учетом переноса единицы в старший разряд (см. табл. 1).

Пример L Выполнить операцию арифметического сложения в двоич-

ной системе счисления. Решение.

Точками показаны переносы.

В устройствах, реализующих операцию арифметического сложения двоичных чисел, операнды представляют числами определенной разрядности (одинаковой для обоих операндов). При этом неиспользуемые старшие разряды заполняются нулями. Также заполняются нулями младшие разряды дробной части вещес твенного числа (справа от точки).

Следует заметить, что в реальных ЭВМ чаще всего используются 32-, 64г, 128-разрядные сетки (машинные слова). Однако для учебных целей при рассмотрении правил выполнения арифметических операций не будем обращать внимание на разрядность операндов (т. е. будем использовать разрядность, отличающуюся от разрядности реальных ЭВМ).

Пример 2 Выполнить операцию арифметического сложения двух вещественных чисел в двоичной системе счисления.

Решение.

Результаты сложения двух чисел показаны на рисунке слева. При сложении вещественных чисел в общем случае перенос осуществляется и из дробной части числа в целую часть. Рассмотрим правило умножения многоразрядных двоичных чисел.

Умножение двоичных многоразрядных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. Каждое частичное произведение равно нулю, если в соответствующем разряде множителя стоит 0, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов влево, если в разряде множителя стоит 1.

Таким образом, операция умножения многоразрядных двоичных чисел внутри ЭВМ сводится к операции сдвига и сложения. Положение точки, отделяющей целую часть от дробной части, определяется так же, как и при умножении десятичных чисел.

Пример 3. Перемножить в двоичной СС числа 7,5D и 5D.

Решение.

В рассмотренном примере второй двоичный разряд множителя равен нулю, поэтому второе частичное произведение также равно нулю.

Пример 4. Выполнить деление в двоичной СС десятичного числа 65D на число 5D.

Полученный результат 1101В =13D свидетельствует о верности выполненной операции деления.

В ВТ, с целью упрощения реализации арифметических операций, применяют специальные коды. За счет этого облегчается определение знака результата операции, а операция вычитания чисел сводится к арифметическому сложению. В результате упрощаются устройства, выполняющие арифметические операции.

В ВТ применяют прямой, обратный и дополнительный коды.

Прямой двоичный код Рпр(х) — это такое представление двоичног о числа х, при котором знак «Ч» кодируется нулем в старшем разряде числа, а знак «-»— единицей. При этом старший разряд называется знаковым. Остальные разряды двоичного числа называются значащими.

Например, числа 45D и -5D, представленные в прямом четырёхразрядном двоичном коде, выглядят гак: +5D =0'101В; -5D =Г101В. Здесь апострофом условно (для удобства определения знака) отделены знаковые разряды.

Обратный код Р0бр(х) получается из прямого кода по следующему правилу:

Из приведенного выражения видно, что обратный код для положительных чисел совпадает с прямым кодом. Чтобы представить отрицательное двоичное число в обратном коде, нужно поставить в знаковом разряде 1, во всех значащих разрядах заменить 1 на 0, а 0 на 1. Такая операция называется инверсией и обозначается горизонтальной чертой над инвертируемым выражением (см. раздел «Логические основы работы ЭВМ»).

Пример Д Получить обратный код для числах =-llD.

Решение.

Считается, что здесь числа представлены пятью разрядами. Из рассмотренною примера видно, что обратный код для положительных чисел совпадает с прямым, а для отрицательных чисел получается инверсией (переворотом) всех разрядов, кроме знаковою разряда.

Дополнительный код Р,)оп ) образуется следующим образом:

Из выражения видно, что дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом, а для отрицательного числа получается инверсией всех значащих разрядов и добавлением единицы к младшему разряду результата.

Дополнительный код отрицательного числа может быть получен из обратною кода путем прибавления 1 к младшему разряду обратного кода (естественно, с учетом переносов между разрядами).

Пример & Получить дополнительный код для числа х =-14D.

Решение.

Р„р(х) =Г11102 прямой код

Р,„',р(х) =Г00012 обратный код

Рдоп ) =1-00102 дополнительный код.

В табл. 2 представлены прямые, обратные и дополнительные коды чисел в диапазоне от -7D до +7D.

Таблица 2

Десятичное число X

Рпр (*)

Робр(х)

Рдоп (х )

0

О'ООО

О'ООО

О'ООО

1

0-001

0-001

0-001

2

ото

О'ОЮ

О'ОЮ

3

О'ОП

0-011

0-011

4

0-100

0-100

О'ЮО

5

0-101

0-101

0-101

6

0-110

0-110

О'ПО

7

0-111

0-111

0111

-0

l'OOO

1-111

-1

1-001

Г110

Till

-2

1-010

1-101

Т110

-3

1'011

1-100

1101

-4

Г100

1'ОИ

1100

-5

1'101

1-010

1-011

-6

1110

1-001

тою

-7

1-111

гооо

Т001

Рассмотрим правило сложения двоичных чисел в дополнительном коде.

При алгебраическом сложении двоичных чисел положительные слагаемые представляют в прямом коде, а отрицательные слагаемые — в дополнительном коде, производят арифметическое суммирование этих кодов, включая разряды знаков, которые при этом рассматривают как старшие разряды. При возникновении переноса из разряда знака единицу переноса отбрасывают. В результате получают алгебраическую сумму в прямом коде, если эта сумма положительная, и в дополнительном коде, — если сумма отрицательная.

Напомним, что алгебраическое сложение — это сложение, в котором могут участвовать как положительные, гак и отрицательные числа.

Пример 7. Выполнить алгебраическое сложение с использованием дополнительного кода для чисел xj =7D и хг =-3D.

Решение.

Необходимо найти сумму: у/ = X; 2.

Учитывая, что X; > 0, это число нужно представить в прямом коде, а так как Х2<0, то число Х2 нужно перевести в дополнительный код.

Так как результат положителен (в знаковом разряде Р(у) — 0), значит, он представлен в прямом коде Р„р(у) =0Т00В. После перевода двоичного числа в десятичную СС получим ответ : у/ =+4D.

Пример 8l

Выполнить алгебраическое сложение чисел xj =8D и хг =-13D с использованием дополнительного кода.

Решение.

Необходимо найти сумму: у = Xj + Х2.

Число Xi нужно представить в прямом коде, а Х2 — в дополнительном

коде.

В знаковом разряде стоит единица, и, значит, результат получен в дополнительном коде. Для перехода от дополнительною кода

к прямому коду Р„р(у) необходимо выполнить следующие преобразования:

Переходя от двоичной СС к десятичной СС, получим ответ: у =-5D.

Пример 9. Выполнить алгебраическое сложение с использованием дополнительного кода для чисел xj = - 6D и Х2 =-17D.

Решение

Необходимо найти сумму: у/ = X; 2.

Числа Xj и Хг нужно представить в дополнительном коде.

В знаковом разряде стоит единица, и, значит, результат получен в дополнительном коде. Для перехода от дополнительного кода

к прямому коду Рпр(у) необходимо выполнить следующие преобразования: Переходя от двоичной СС к десятичной СС, получим ответ: у =-23D.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы