Геометрическая закономерность

Второе понятие, которое для нас будет весьма полезным, - это понятие о геометрической закономерности. Мы будем говорить, что вещь построена геометрически закономерно или правильно, если ее можно разделить без остатка на равные части относительно некоторого геометрического признака.

Приведем ряд примеров фигур, обладающих геометрической закономерностью. Квадрат построен геометрически закономерно, так как он может быть разделен без остатка на восемь геометрически равных прямоугольных треугольников (рис. l). Указанный способ деления квадрата на равные части не единственный. Иное деление (например, на четыре малых квадрата или на два прямоугольника) обнаружит и иную закономерность.

Окружность построена геометрически правильно, так как эта фигура целиком может быть составлена из бесконечного числа точек, равных друг другу в том смысле, что каждая из них удалена на одно и то же расстояние от центра окружности. Архимедова спираль представляет собой геометрически правильно построенную фигуру, так как она состоит из бесконечного числа точек, удовлетворяющих уравнению г = сир, которое говорит нам, что расстояние точки спирали от начала О пропорционально углу ф, образуемому радиус-вектором г с начальной осью ОА (рис. 2). Таким образом, точки спирали равны друг другу в том смысле, что для каждой из них отношение r/ф имеет одно и то же значение а.

Пусть нам дан равнобедренный треугольник, разделенный на две части медианой угла между равными сторонами. Обе части треугольника выкрашены в разные цвета. При физическом различии частей фигура построена геометрически правильно, так как она состоит из двух частей, равных друг другу по геометрическим признакам (зеркальное равенство).

Узлы квадратной сетки

Рис. 3. Узлы квадратной сетки (а) образуют правильную фигуру, так как каждый из них занимает одинаковое положение среди других узлов. Система точек, расположенных беспорядочно, но с одной и той же средней плотностью (б), есть правильная фигура, так как ее можно разделить без остатка на участки, содержащие приблизительно одно и то же число частиц

Возьмем бесконечную систему кружков, расположенных по вершинам примыкающих друг к другу равных квадратов (рис. з, а). Полученная фигура построена геометрически правильно, так как все ее элементы удовлетворяют одному и тому же правилу построения. Представим себе теперь не отвлеченную геометрическую фигуру, а реальное физическое тело, например газ водород, заключенный в замкнутый сосуд. Такой газ, как известно из физики, состоит из «одинаковых» беспорядочно движущихся молекул, при этом плотность газа во всех местах сосуда остается одинаковой. Если бы можно было снять мгновенную фотографию некоторого слоя такого газа и достаточно увеличить ее, то мы получили бы картину вроде той, которая изображена на рис. 3, б. Несмотря на так называемую идеальную беспорядочность расположения точек в этой фигуре, она тем не менее построена геометрически правильно, и вот почему. Во-первых, вся фигура целиком может быть разложена на части, равные между собой, потому что каждая из них есть молекула водорода; во-вторых, всю фигуру можно мысленно разбить, например, на ква-

Слева - две совместимо равные фигуры, справа - две зеркально равные фигуры

Рис. 4. Слева - две совместимо равные фигуры, справа - две зеркально равные фигуры

дратные участки, равные в том смысле, что в каждом таком участке в силу одинаковой плотности газа заключается приблизительно одно и то же число молекул.

Из приведенных примеров видно, что понятие геометрической закономерности, так же как и понятие равенства, очень широко. Совершенно ясно, что плодотворное применение столь широкого понятия возможно лишь при фиксировании характера этой закономерности для каждого конкретного случая.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >