Алексей Васильевич Шубников, Владимир Александрович Копцик. От интуитивных представлений к определению симметрии
Понятие равенства как основа геометрической закономерности и учения о симметрии
Для всего учения о симметрии основное значение имеет понятие относительного равенства предметов.
Два предмета мы будем называть равными в отношении того или иного признака, если оба предмета обладают этим признаком. Приведем несколько примеров относительного равенства. Вершины квадрата равны друг другу в том смысле, что в каждой из них сходятся по два ребра, образующих прямые углы; но они не равны друг другу в смысле различной их ориентировки в пространстве. Все стороны косоугольного треугольника относительно равны друг другу, так как каждая из них есть отрезок прямой. Правая рука равна левой по всем количественным признакам, хотя правую руку' и нельзя совместить с левой простым наложением, то есть без предварительного отражения одной из них в зеркале. Грани куска каменной соли, выбитого по плоскостям спайности и имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, не равны друг друг}' в обычном геометрическом смысле, но равны в отношении физических свойств. Грани картонного куба, выкрашенные в разные цвета, равны друг другу геометрически, но не равны по окраске.
Рис. 1, 2. Слева: квадрат построен геометрически закономерно, так как он может быть разделен без остатка на восемь равных частей.
Справа: архимедова спираль обладает правильностью строения, так как представляет собой геометрическое место точек, равных друг другу в том смысле, что все они удовлетворяют одному уравнению г = ац>
Из приведенных примеров мы видим, во-первых, что в природе нет и не может быть абсолютного равенства двух разобщенных в пространстве или времени предметов, и, во-вторых, что в реальном или относительном равенстве требуется указание критерия или, лучше сказать, меры равенства. Вводя меру равенства для каждого из признаков, мы вместе с тем вводим и представление о более или менее широком равенстве двух предметов. Например, мы можем сказать, что вершины квадрата более равны друг друг}', чем вершины параллелограмма, так как вершины квадрата сходны друг с другом большим числом признаков, чем вершины параллелограмма.
Обращаем внимание читателя на то, что при установлении равенства между двумя предметами мы оцениваем не только количественные их признаки, но и качественные. Отсюда и получается, что мы, например, можем говорить о равенстве и различии точек: для нас все точки окружности, равные друг другу по положению, отличаются от центра окружности; материальная точка отличается от геометрической. Таким образом, за термином «относительное равенство» мы закрепляем конкретный смысл равенства в отношении данного признака (или их совокупности), подразумевая, что мера равенства определена или может быть определена. В этом отношении наш термин отличается от близких по значению слов «сходство», «подобие», «равноценность», «равнозначность» «гомологичность» и т.д., которые мы оставляем для обозначения более широких понятий. В дальнейшем, говоря о разных предметах, мы будем помнить, что речь может идти только об относительном равенстве. При этом признак, по которому предметы считаются равными, может не указываться, если он ясен по содержанию излагаемого.
