Проверка правдоподобия гипотез распределения

После решения вышеописанной задачи следует проверить гипотезу о принадлежности результатов наблюдения к предварительно выбранному закону распределения. Допустим, данное статистическое распределение выравнено с помощью некоторой теоретической кривой /(х).

При этом неизбежны некоторые расхождения. Требуется выяснить, объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что выбранный нами закон плохо отражает данное статистическое распределение.

Для ответа на этот вопрос служат критерии согласия. Рассмотрим один из наиболее часто применяющихся, удобный и достаточно простой для расчетов критерий Пирсона.

Чтобы сделать надежный вывод о соответствии эмпирического и теоретического распределений удобно использовать критерий Пирсона у², Д^{ля чего} вычисляют эмпирическую статистику

где N - объем выборки (число выборочных значений случайной величины); М- число интервалов, на которые разбивают весь диапазон значений случайной величины [Х_мин, Х_макс]; m_i - число случайных величин, попавших в /-ый интервал; - теоретическая вероятность попадания случайной величины X в г-й интервал.

По табл. П3.4 находят табличное значение критерия у² (г, q). Аргументами являются заданный уровень значимости q (обычно из набора 0,1; 0,05; 0,01) и число степеней свободы r = M — s — 1, где s - число параметров теоретического распределения, полученных по опытным данным.

Для нормального закона распределения г-М - 3, для экспоненциального закона распределения г-М -2 и т. и.

Если у² (г, q)>y², результаты наблюдений не противоречат выдвинутой гипотезе, то есть можно считать, что эмпирическое распределение несущественно отклоняется от теоретического. Если , эмпирическое распределение существенно отличается от теоретического.

Кроме описанного выше критерия Пирсона в качестве критериев согласия для проверки правильности принятой гипотезы распределения используют и другие, критерии, в частности критерий Колмогорова.

Критерий Колмогорова (другое название - критерий Колмогорова- Смирнова) достаточно надёжен при п >15...20 для проверки гипотезы, подчиняется ли случайная величина некоторому закону распределения, если известны его параметры (простая гипотеза).

Проверка может проводиться для любого вида распределения. Критерий основан на определении максимального отклонения накопленной частости (эмпирической функции распределения) от теоретической функции распределения.

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

• строят статистическую функцию распределения F*(jc), затем

предполагаемую теоретическую функцию F(x);

• определяют модуль максимальное расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения

• рассчитывают статистику критерия Колмогорова-Смирнова по одной из формул

• сравнивают расчётное значение критерия с критическим А._табл, значения которого приведены в табл. 5.4.

Таблица 5.4

Критические значения распределения Колмогорова при разных уровнях

значимости а.

Если А, <А,_табл, то нулевую гипотезу о том, что статистическое распределение соответствует теоретическому с функцией распределения F(x) при выбранном уровне значимости а, не отвергают.

В случае принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному распределению.